一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案.docx

一元二次不等式及其解法
１。一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为aｘ＞b(ａ≠0）的形式。
当ａ>０时，解集为 　 　 ;当a＜0时,解集为 　 .

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为___＿_____＿不等式.
（2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的__＿＿_＿__．
（3）一元二次不等式的解:
函数与不等式
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
二次函数
y＝ａx2+bｘ＋c
(a＞0）的图象
一元二次方程
ax２＋bx＋c＝０
（a〉0)的根
有两相异实根
ｘ1，x2（x１＜x2)
有两相等实根
x1=x2=－
无实根
ａx2＋ｂx+ｃ>0
① 　
②　 　　
Ｒ
（a>0)的解集
ａx2＋bx＋ｃ〈0
（ａ＞０)的解集
{x｜x１＜x＜x2｝
∅
③　　　　
3。分式不等式解法
(１）化分式不等式为标准型．方法:移项，通分,右边化为0，左边化为的形式．
（２)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
　⇔ f（ｘ）g（x）〉０；　 　　＜0 ⇔ ｆ(x）ｇ（x)<0;
≥0 ⇔　 　 ≤0 ⇔
（)已知集合Ａ={x|x２－２x－３≥０｝,B={x|-2≤ｘ＜2｝，则A∩B＝( 　）
A。［－2,-1] ﻩ B.[－1，２）
Ｃ。[－1,1］ 　 ﻩ D.［1，2）
解：∵A＝｛x｜x≥3或ｘ≤—1｝,B=｛x|－２≤x〈２｝，∴Ａ∩B=｛ｘ|－2≤x≤－１｝=[-2，－1]．故选A。
设ｆ（x)=x2＋bx+１且ｆ（－1）=f（３），则f(x)>0的解集为（　 )
Ａ．｛ｘ｜x∈R｝ ﻩB．{x|x≠1,x∈Ｒ}
C.{ｘ｜x≥１｝ ﻩD。{x｜ｘ≤1｝
解:f（—1）＝1—ｂ＋１=2—ｂ,f(3)=9+3b+1＝１0＋3b,
由f(—1)=f(3)，得２－b=10＋3b，
解出b＝－2,代入原函数，f（x)>0即x２—2x+1〉0，x的取值范围是x≠1．故选B。
　已知—〈〈2，则x的取值范围是（　　)
A.—2＜x<0或０〈x< B.－＜x〈２
〈－或x〉２ ﻩD。x〈—2或x>
解:当ｘ>0时，x>;当ｘ<0时,x＜－２．
所以x的取值范围是x＜-2或x〉，故选Ｄ．
　不等式〉0的解集是 　　 　 　　．
解：不等式>0等价于(1－2x)（x+１）＞0，
也就是（x+1）＜0，所以－１〈ｘ＜。
故填.
(）若一元二次不等式２kｘ2＋ｋｘ－〈0对一切实数x都成立，则ｋ的取值范围为____＿＿_＿.
解：显然ｋ≠0。若k〉0，则只须(2ｘ2＋x）max〈，解得k∈∅；若ｋ＜0，则只须<（２ｘ2＋x)ｍｉｎ，解得k∈(—３，0).故k的取值范围是(－3,0）.故填（－３,０）.
类型一 一元一次不等式的解法
已知关于x的不等式（a+b)x+2a－3b＜0的解集为，求关于x的不等式（a－３ｂ)x＋ｂ-2ａ〉0的解集。
解：由（a+ｂ)x〈3b－2a的解集为，
得ａ＋b>0,且=－，
从而ａ＝2b，则a+b＝３ｂ＞0,即ｂ＞0,
将a=2b代入（a－３ｂ)x+b-２a〉0,
得－bx－3b〉0，x〈－3，故所求解集为（-∞，-3)．
点拨：
一般地，一元一次不等式都可以化为ax〉b（a≠0)+b>０且＝-是解本题的关键．
　解关于x的不等式:(ｍ2—4）x〈m+2.
解:(1）当m2-４=０即m=－２或m＝２时，
①当m＝－２时，原不等式的解集为∅,不符合
②当m＝２时,原不等式的解集为R,符合
（2）当m2—4＞0即m＜－2或m＞２时，x＜.
（3）当m2-４＜0即—2＜m〈2时，x〉．
类型二 一元二次不等式的解法
　解下列不等式:
(1）x2-7ｘ＋12＞０;　 （2）—x2—２x+3≥0；
（３）x2－２x+1〈0; （4）ｘ2－2ｘ+２＞0．
解:(１)｛ｘ|x＜３或x＞4｝.
(２)｛ｘ|-3≤x≤１｝．
（3）∅．
（４）因为Δ<0，可得原不等式的解集为R.
（）已知函数f（x）＝ 则不等式x＋（ｘ+1）f(x+1）≤1的解集是(　 ）
A。{x|—1≤ｘ≤－1} 　 B．{x|x≤１}
Ｃ。｛x｜x≤－１｝ 　　 　 　 　　　 D。｛x｜-