MIP与Banach空间光滑性.pdf

1 99 6 年第 3 期广东教育学院学报 M l p与 B a n a eh 空间光滑性李晓明鲍建强摘要在本文中我们证明了( s) x 具有 M IP 当且仅当 B h空 l司 X是自反的而且 S pu ( x)是 S ( x)的稠密集( 11)若 x是昨常光滑的贝1w 一 s p u ( x )是 S ( x )的弱稠密集关键词 MPI 光滑柞常光滑 5 M 〔 1〕最先研究T赋范空l’q如下的光滑性质现在称为 M IP (即 M I t ti P p ty) 定义若 x的每个有界闭凸集都是所有包含它的闭球的交则称 x具有 MPI 5Mas 证明了所有具有 F一可微范数的自反Ba nahc 空间具有 MPI 并证明了下面与弱序列收敛有关的结果若 x具有 MPI 则 x中的序列< }弱收敛于 x当且仅当( i) { }是有界的; ( 11)每一个包含无穷多个的球都包含后来 R R ph lp [ 2] 给出了有限维 B h空间具有 M IP的特征有限维Ba nahc 空间 x具有 MPI 当且仅当其共扼空间单位球的端点全体在球面 S ( x )上稠密他还给出了下面的充分条件若 w 一 s p u ( x ) 在 s ( x )上稠密则 x具有 M IP 但这个条件是否必要却是一个未解决的开问题 J R e il 0 A e g y和 B sim 〔 3]得到T x具有 M IP的充分必要条件如下定理下列条件等价( l) x具有 M IP ( 2) w 一 d tU ( x ) 在 S ( x )上稠密(3) 每一个支撑映射都把 s ( x)的稠密集映成 s ( x )的稠密集从 P B dy p dhy y和 A K R y的〔 4〕我们知道 R 有一个等价范数使其具有 MPI 但有一个两维子空间不具有 MPI 因而具有 MPI 的 B h空间其子空间不一定具有 M IP P B dy p dhy y 和^ K R y在〔 4〕中指出了若 B h空间的每一个子空间具有 MPI 则 x是光滑的并提出了下面的问题问题若 Bna ac h空间 x是光滑的且具有 M PI 则是否 x的任意子空间具有 MPI ? 我们在这篇文章中主要讨论了光滑性质和 x具有 MPI 的关系证明了若 x的任 43 意子空间具有 MI P时 R R Phe Pl 的条件亦是必要的即若 x的任意子空间 x具有 MPI 则w 一es p u ( x )在 s ( x )上稠密另外我们证明了 x 具有 M护当且仅当 x是自反的和 sex p u ( x)在 s ( x)上稠密并证明了若 x具有 MPI 且 x 具有 RN P 则w 一 sex p u ( x )在 s ( x )上稠密最后我们还讨论了非常光滑和光滑的一些与 MPI 非常类似的性质 R R Phe Pl 在[ 2」中证明了在两维的Ba nahc空间中 x具有 MPI 当且仅当 x是光滑的并举例说明在一般情形下光滑的Ba nahc空间不一定具有 MPI 在这里我们弄清了有限维空间具有 MPI与光滑性的联系定理 1 若 Bna ac h空间 x是有限维的且 x是光滑的则 x具有 MPI 证明若 x是光滑的则{ Xf任 s ( x )l r ()= l 任 s ( x)}仁 tu ( x ) 故 ex tu ( x )在 s