一、无穷限的广义积分
第四节 广义 积 分
二、无界函数的广义积分
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一、无穷区间的广义积分
例 1 求由曲线 y = e-x,
y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积.
解 这是一个开口曲边梯形,
为求其面积,任取 b [0, + ),
在有限区间 [0, b] 上,
以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为
b
y = e-x
y
x
O
(0,1)
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y = e-x
y
x
b
O
(0,1)
即
当 b + 时,阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积,
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定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续,
取实数 b > a,
如果极限
则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的广义积分,
这时也称广义积分收敛,
记作
即
存在,
否则称广义积分发散.
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定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续,
取实数 a > b,
如果极限
则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分,
这时也称广义积分收敛,
记作
即
存在,
否则称广义积分发散.
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定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续,
且对任意实数 c,
如果广义积分
则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的广义积分,
这时也称广义积分收敛,
记作
即
都收敛,
否则称广义积分发散.
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若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数,并记
则定义 1,2,3 中的广义积分可表示为
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例 2 求
解
例 3 判断
解
由于当 x + 时,sin x 没有极限,所以广义积分发散 .
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例 4 计算
解 用分部积分法,得
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例 5 判断
解
故该积分发散.
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