第五章(讲义版)-课件（PPT·精·选）.ppt

第五章大数定律与中心极限定理一、大数定律二、中心极限定理机动目录上页下页返回结束大数定律第五章第一节一、切比雪夫 Chebyshev 不等式二、几个常见的大数定律定义 1 1}| {| lim??????aXP n n,有: 设随机变量序列 1 2 , , , n X X X ? 0??,如果存在常数 a,使得对于任意. Pn X a ???依概率收敛于 a,记为则称 nX 预备知识: 机动目录上页下页返回结束等价形式: ,0?? 2 ( ) {| ( ) | } D X P X E X ??? ?? 2 ( ) {| ( ) | } 1 D X P X E X ??? ???有则称此式为切比雪夫不等式。存在,则对任意证明设 X 为连续性(离散型类似),其密度为( ) f x 2 ( ) E X D X ? ?? ?和方差( ) 设随机变量 X的数学期望命题(切比雪夫 Chebyshev 不等式) 机动目录上页下页返回结束 22 | ( )| [ ( )] ( ) x E X x E X f x dx ??? ????则| ( )| {| ( ) | } ( ) x E X P X E X f x dx ??? ?? ??? 2 21 [ ( )] ( ) x E X f x dx ?????? ?? 22 [ ( )] 1 x E X ??? 2 ( ) D X ??注: Chebyshev 不等式对随机变量在以( ) E X 的一个ε领域外取值的概率给出了一个上界 2 ( ) . D X ?为中心例1一电网有 1万盏路灯, 晚上每盏灯开的概率为 , 求同时开的灯数在 6800 至7200 之间的概率至少为多少? 解: 设 X 为同时开的灯数。 4 ~ (10 ,) X b 由二项分布( ) 7000 ( ) 2100 E X np D X npq ? ? ??{6800 7200} P X ? ?用切比雪夫不等式{6800 7200} P X ? ? 4 7200 10 10 6800 k k k kC ????{6800 7000 7000 7200 7000} P X ? ?????{ 7000 200} P X ? ?? 22100 1 200 ? ? ? 200 ??已知正常男性***血液中,每一毫升白细胞数解设每毫升白细胞数为 X 依题意, E(X) =7300, D(X) =700 2所求为{ 2100 2100} P X EX ? ???? 2)2100 ( )(1 XD??由切比雪夫不等式{ 2100} P X EX ? ? 9 89 11???{ 2100} P X EX ? ??{5200 7300 7300 9400 7300} P X ? ?????{5200 9400} P X ? ?估计每毫升白细胞数在 5200 ~9400 之间的概率. 平均是 7300 ,均方差是 700 ,利用切比雪夫不等式例22) 2100 700 (1??即每毫升白细胞数在 5200-9400 之间的概率不小于 8/9 。机动目录上页下页返回结束大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率机动目录上页下页返回结束几个常见的大数定律定理 1(切比雪夫大数定律) 11 lim {| | } 1 nini P X n ? ????? ???则即对任意的ε> 0 , 设X 1 , X 2 , …是一列相互独立的随机变量序列, 它们都有相同的数学期望 2 ( ) i i E X D X ? ?? ?和方差( ) 11. nPiiXn ??????证明 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n i i i