求函数极限的方法和技巧
作者: 黄文羊
摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。
关键词:函数极限
引言
在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学****数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益.
主要内容
一、求函数极限的方法
1、运用极限的定义
例: 用极限定义证明:
证: 由
ﻩ 取 则当 时,就有
由函数极限定义有:
2、利用极限的四则运算性质
若 ﻩ
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则:
(IV) (c为常数)
上述性质对于
例:求
解: =
3、约去零因式(此法适用于)
例: 求
解:原式=
=
==
=
4、通分法(适用于型)
例: 求
解: 原式=
=
ﻩ= ﻩ
5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)
设函数f(x)、g(x) 满足:
(I)
(II) (M为正整数)
则:
例: 求
解: 由 而
故 原式 =
6、利用无穷小量与无穷大量的关系.
(I)若: 则
(II) 若: 且 f(x)≠0 则
例: 求下列极限
① ②
解: 由 故
ﻩ由 故 =
7、等价无穷小代换法
设 都是同一极限过程中的无穷小量,且有:
, ﻩ 存在,
则 也存在,且有=
例:求极限
解:
=
注: 在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
但我们经常使用的是它们的变形:
例:求下列函数极限
9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。
例:求下列函数的极限
(2)
10、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型)特别地有:
m、n、k、l 为正整数。
例:求下列函数极限
① 、n ②
解: ①令 t= 则当 时 ,于是
原式=
②由于=
令: 则
==
=
11、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:
则极限 存在, 且有
例: 求 (a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:
及
又 当x时,k 有
及
=0
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形).
定理:函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有:
==A
例:设= 求及
由
13、罗比塔法则(适用于未定式极限)
定理:若
此定理是对型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。
注:运用罗比塔法则求极限应注意以下几点:
要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导.
应用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。
要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误.
4、当 不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。
例: 求下列函数的极限
① ②
解:①令f(x)= , g(x)= l
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