高考复数知识点精华总结.doc

高考复数知识点精华总结
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复 　数
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（1）虚数单位i；
(2)复数的代数形式ｚ＝a+ｂi，(a， b∈Ｒ)；
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

3．复数a+bｉ（a，　ｂ∈Ｒ)由两部分组成，实数a与ｂ分别称为复数a+bi的实部与虚部，１与i分别是实数单位和虚数单位,当ｂ＝0时,ａ＋bｉ就是实数，当ｂ≠0时，a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数ａ+bi为纯虚数的必要条件，若ａ=b=0，则a+bi＝0是实数.

若两个复数z1＝a1＋b1i,z２＝a2+b2i，
（1）加法:z1+z2＝(ａ1+ａ２）+(b１+b2）i；
（2)减法:z1-z2=（a１-a２)+（b1-b2）i;
（3)乘法：z1·ｚ2=(a1a２-b1b2)+（a１b2＋a2b1）i;
（4）除法：;
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（６）特殊复数的运算：
①　(n为整数)的周期性运算;　 ②（1±i）2 =±2i；
③ 若ω=－＋i，则ω３=１，1+ω+ω2=0．
5．共轭复数与复数的模
（1）若ｚ=a＋bi，则，为实数，为纯虚数(b≠０）.
（2)复数ｚ=a+bi的模｜Z|=, 且＝a2+b２．
，设a, b， ｃ， d∈R,两个复数ａ+bi和ｃ＋ｄi相等规定为a+bｉ=ｃ+ｄi． 由这个定义得到a+ｂi=0.
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
４．复数a+bi的共轭复数是a－bｉ,若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b＝０，则实数ａ与实数a共轭,表示点落在实轴上.
5。复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－１结合到实际运算过程中去。
如（a＋bｉ)(ａ-bi)=　a2＋b2
6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足（c+di）(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数ａ＋bi除以复数c＋di的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即．
7。复数a+bi的模的几何意义是指表示复数ａ+bi的点到原点的距离。
(二)典型例题讲解
1．复数的概念
例1．实数ｍ取什么数值时,复数ｚ=ｍ＋１+(m—1）ｉ是（1）实数？（２）虚数？（3）纯虚数?(4)对应的点Ｚ在第三象限?
解：复数z=m＋１＋（ｍ－1）ｉ中，因为m∈Ｒ，所以m＋1,ｍ—1都是实数,它们分别是z的实部和虚部，
∴ （１）m=1时，z是实数; （2）m≠1时，ｚ是虚数;
（３）当时，即m=－1时，z是纯虚数;
（４）当时，即m＜－1时,ｚ对应的点Z在第三象限。
例2。已知(2ｘ-1）＋i＝y—（3－ｙ)ｉ，其中ｘ, y∈R，求ｘ， y。
解:根据复数相等的意义,得方程组，得x＝，　y=4。
例4．当m为何实数时，复数z=+（m2+3ｍ—10)ｉ；（1）是实数；（２）是虚数；(3)是纯虚数。