2011年清华等五校联考（华约）自主招生数学试卷 .doc.doc

1 2011 年清华等五校联考(华约)自主招生数学试卷 * n N ?,15 n?. 集合 A 、B 都是?? 1, 2, , I n ? ???的真子集, A B ???, A B I ??.证明:集合 A 或B 中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数. ?? 2 ( 0) f x ax bx x a ? ???, 方程?? f x x ?的两个根是 1x 和2x ,且10x?, 2 1 1 x x a ? ?, 又10 t x ? ?. 试比较?? f t 与1x 的大小. 3. 求函数???? 2 max 1 , 5 f x x x ? ??的最小值,并求出相应的 x 的值. 4. 已知?? f x 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的, a b R ?,有?????? f ab af b bf a ? ?. (1 )求?? 0f ,?? 1f 的值;(2 )判定函数?? f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3 )若?? 2 2 f?,?? 2 nnfun ????* n N ?,求数列?? nu 的前 n 项和 nS . 5. 已知关于 x 的方程???? 2 2 2 1 1 ax a x ? ??,1a?. 证明方程的正跟比 1 小,负根比 1?大. ,b 是两个正数,且 a b ?.当??, x a b ?时,2 4 6 y x x ? ??的最小值为 a , 最大值为 b , 求a ,b 值. 8. 某生产队想筑一面积为 144 2m 的长方形围栏, 围栏一边靠墙. 现有铁丝网 50m , 筑成这样的围栏最少要多少铁丝网?已有的墙最多利用多长?最少利用多长? 9. 在正方形 ABCD 中,过一个顶点 D 作对角线 CA 的平行线 DE ,若 CE CA ?,且 CE 交边 DA 于点 F . 求证: AE AF ?. 2 10. 设 ABC ?的重心为 G , 外心为 O , 外接圆半径为 r , OG d ?, BC a ?, CA b ?, AB c ?. 求证: 2 2 2 2 2 9 a b c r d ? ??? 11. 设圆满足: ①截y 轴所得弦长为 2;②被x 轴分成两段弧,其弧长比为 3:1 ,在满足上述条件的圆中,求圆心到直线: 2 0 l x y ? ?的距离最小的圆的方程. 12. 以A 为圆心,以 2cos (0 ) 2 ?? ?? ?为半径的圆外有一点 B . 已