第七章线性变换总结篇(高等代数).docx

第 7 章 线性变换
知识点归纳与要点解析
一．线性变换的概念与判别 1. 线性变换的定义
数域P上的线性空间V的一个变换 称为线性变换，如果 对V中任意的元素 ,和数域P中的任意数k，都有:
， k k 。
注: V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2. 线性变换的判别
设 为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么: 为 V 的线性变换

设V是数域P上的线性空间，
1, 2,L , s, V 。
1.
2.
V, k,l P
为V的线性变换，
性质 性质 相关 性质
s
0 0, ;
若1, 2丄，s线性相关，那么
2 ,L , s 也线性
3.
设线性变换 为单射， 如果
1 , 2 ,L , s
1 也线性无关 注:设 V 是数域 P 上的线性空间，
的两个向量组， 如果:
2 ,L ,
1, 2,L , m
线性无关， 那么
1, 2,L , s 是 V 中
c11 1
c21 1
LL
cm1 1
c12 2
c22 2
L c1s s
L c2s s
cm2 2 L cms s
记:
c21
L
cm1
c22
L
cm2
M
M
c2s
L
cms
M
c12
1, 2,L , m
1, 2,L , s
于是，
若 dim V n ， 1,
2,L
,・是V的一组基，
是 V 的线性变
换，
1, 2,L , m 是 V 中任意一组向量，
如果：
1
b11
1 b12 2 L
b1n n
2
b21
1 b22 2 L
b2n n
LL
L
m
bm1
1 bm2 2
L bmn n
记：
1, 2,L
m
1,
2 L m
那么：
b11
b21 L
cm1
b12
b22 L
cm2
1,
2,L , m
1, 2,L , n
M
M
M
b1n
b2n L
cmn
c1s
b11
b21
L
cm1
设 B b12
M
b22
M
L
cm2 ， ,
M ， 1,
2,L , m 是矩阵 B 的列向量组，如果
b1n
b2n
L
cmn
i1 , i2 ,L , i r
是
1,
2,L , m 的
一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么
i1 , i
2L
i
r 就是
1 , 2 L m 的一个极大线性无
关组，因此向量组 1 , 2 L m 的秩等于秩 B 。
4. 线性变换举例
（1）设 V 是数域 P 上的任一线性空间。 零变换： 0 0, V ； 恒等变换： , V 。
幕零线性变换：设 是数域P上的线性空间V的线性变 换，如果存在正整数 m ，使得 m 0 ， 就称 为幂零变换。
幕等变换：设 是数域P上的线性空间V的线性变换，
如果2 ，就称为幕等
变换
(2 ) V Pn,任意取定数域P上的一个n级方阵A，令:
V
v
二线性变换的运算、矩阵
X2
X2
A 2 ,
M
X2
M
M
X"
X"
X"
f
X P X。
Xi
Xi
Xi
Pn。
f x ,
P" " , A aj是V中一固定矩阵，
X AX, X Pn n 。
、乘法、数量乘法
(1 )定义：设V是数域P上的线性空间， 性变换，定义它们的和 、乘积
的 V
,是V的两个线 分别为：对任意
任取k P，定义数量乘积k为：对任意的 V
k k
的负变换-为：对任意的 V
则 、、k与-都是V的线性变换
(2 ) L V ={ I为V的线性变换}，按线性变换的加法和数乘
运算做成数域P上的维线性空间

(1 )定义：设V是数域P上的"维线性空间， 是V的线性变
换，1, 2丄，"是V的一组基，如果：
1
a11
1 a12 2
L
a1n n
2
a21
1 a22 2
L