论基础公理与反基础公理.pdf

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论基础公理与反基础公理木文章编号：蟣·李娜杜文静张的方法相同：最后结论：良基集合理论敕橇蓟侠砺√吼～的一个证明；第四，分析反基础公理导致集合论域在Ⅳ喜欢侠┱诺良基集合和非良基集合摘要：关键词：非良基集合：基础公理；反基础公理中图分类号：文献标识码：“循环并不可恶”。】，本文在此基础上讨论基础公理和反基础公理。首先指出基础公理原本就是一条有争议的公理；第二，说明基础公理的局限性；第三，详细论述反基础公理家族中的三个成员，并给出它们两两不相容方法，并指出这种扩张的方法与数系扩张的方法相同；最后结论：良基集合理论敕橇蓟侠砺或者蚙一者蚙一涞墓叵道嗨朴谂芳咐锏眉负窝в敕桥芳负窝之间的关系。二十世纪初，罗素悖论和其它几个集合论悖论的出现曾引起了众多数学家的震惊，并由此引发了第三次数学危机。人们曾围绕“集合到底是什么南开大学哲学院∞函．甤华东政法大学人文学院、Ⅳ甤础公理导致集合论域在Ⅳ喜欢侠┱诺姆椒ǎ⒅赋稣庵掷┱诺姆椒ㄓ胧道“循环并不可恶”。本文在此基础上讨论基础公理和反基础公理。首先指出基础公理原本就是一条有争议的公理；第二，说明基础公理的局限性；第三，详细论述反基础公理家族中的三个成员，并给出它们两两不相容的一个证明；第四，分析反基蛘遺和或者蚙一涞墓叵道嗨朴谂芳咐锏几何学与非欧几何学之间的关系。收稿日期：．．；修订日期：．．‘基金项目：国家哲学社科基金项目、年上海高校青年教师培养资助计划玎昊6ù笱＜断钅和年高校学校青年骨干教师国内访问学者项目。逻辑学研究年第冢—
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化集合论系统。在公理化集合论系统中，最成熟的系统是年鷈提出，后经和锄等人的改进，现在称为的系统。公理系统果集合腥我饬搅讲煌脑K貁瑉瑉淮嬖凇剩耷罱盗垂叵担即：⋯∈∈∈⋯∈∈∈，那么橇蓟模裨騒是非：年施也提出了一条反基础公理。然而，由于非良基集赜诨」ɡ碇淮嬖诼恪剩耷罱盗刺跫骸蕑蕑省蕑蕑蕑集合，，⋯，，⋯。进行了大量的争论，特别是当罗素提出：是否存在这样的集合，它是自身的一个成员蛘吡頣簔《，问羌下如果肯定的回答这个问题，就将导致悖论，它后来被人们称为罗素悖论。为了在康托尔的集合论中排除罗素悖论以及其它悖论，人们提出了许多方法。公理化的方法是人们找到排除悖论重建康托尔集合论的一种重要方法。这样的理论体系被称为公理是建立在等词“焙褪粲诠叵怠啊省钡南廖酱恃菟愕幕∩希由瞎赜诩基本性质的非逻辑公理组成的形式演算系统。它的非逻辑公理包括：外延公理、空集存在公理、对集公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷公理、替换公理、良基公理殖普蚬ɡ砘蚧」ɡ恚蚣俏狥。如果加上选择公理就得到。其中，基础公理保证了低持械集合都是良基的。然而，早在年，船就对良基集合和非良基集合进行了区分，不过当时他把良基集合称为普通集，把非良基集合称为不寻常集。他认为如良基的。除此以外，非良基集合还允许包含自身作为集合的元素，如，满足方程’的集合褪前陨砦TK氐募希虼艘彩欠橇蓟摹Ｒ为这类集合都满足条件：蕑。因此，人们称这类集合为循环集合。年岢隽艘惶醴椿」ɡ鞦醋魑T市硌芳洗嬖诘囊谰荩年耸芗扑慊蒲а芯康那梅侨哂嗍鞲隽肆硪惶醴椿」ɡ合一直都被认为是病态的、毫无用处的、反直觉的东西。所以，长期以来，关于非良基集合的理论研究一直没有受到重视。直到上个世纪年代，特别是年闹鳌斗橇蓟稀】适溃橇蓟侠砺鄣难芯坎耪正引起重视。在此之前，集合论研究的基础都是建立在包含基础公理的基础公理有许多不同的表述，下面给出的是本文讨论中需要用到的几种：啊逻辑学研究第淼期年
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它公理的相对一致性。年鷈也独立地引入了这条公理，并称它为撇称它为正则公理，并证明了它与低持械钠渲衴是所有集合组成的类．【簔】瑆撬辛蓟当保国；当保％坏盦是一个极限序数时，坛ィ簆瑆坛：蔇佗】．。合迭代的过程还表明：每个集合都属于某个这里侨我獾男蚴；集合构成的类，即：悦扛龇强占蟴，都存在一个集合秒∈沟眉鬾扛隽蓟级加形ㄒ坏淖笆巍基础公理与其它公理不同，它不是断言某些对象的整体是集合，而是刻画集合性质的一条公理。把它加入到中，仅仅是为了排除饫嗉稀因为这类集合对于定义通常的数学⒑⒐叵档是不需要的，所以，被加进来清理“全域”。它的加入使得在中可定义的对象都不以自身为元素，即：排出了满足条件蕑的集合，从而也排除了满足条件：秡的集合。年基础公理。对于基础公理，集合论学者持有两种不同的观点。一部分学者认为基础公理是集合论的基础，是最基本的公理之一。他们按照下面步骤来论证基础公理的重要性：匏劂Ｂ鬯得鞑淮嬖诎屑系募希蠢鄖不是它自身的一个成员；系拍畋砻髅挥屑鲜撬陨淼脑K兀集基础公理限制循环集合的出现。浚琾所以，支持基础公理是明智之举。例如，热巳衔#骸A烁凹稀闭飧龃矢嗟南拗埔庖澹人们接受基础公理不是出于一种信念而是一种约定。假如放弃基础公理，那么它将影响以后的数学研究。餰认为：“