2014第8讲 函数与方程.doc

第8讲　函数与方程
基础梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布
根的分布(m＜n＜p为常数)
图象
满足条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2
f(m)＜0
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜n＜x2＜p
只有一根在
(m，n)之间
或f(m)·f(n) ＜0

(1)二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
④：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.
一个口诀
用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
两个防范
(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．
(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，
f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
三种方法
函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．实际上就是求函数的零点，即求方程的根。
双基自测
1．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　C　)．
A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，