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文档列表 文档介绍

第八章
第七节
一、方向导数
二、梯度
方向导数与梯度
假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．
一、方向导数
一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属受热．
在(3,2)处有一个蚂蚁，问：
这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题1
问题的实质：
应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即温度的梯度相反方向）爬行.
问题2
l


设l 是xOy 平面上以
是与l 同方向的
为始点的

单位向量.
函数 z = f (x, y) 在点P0(x0 , y0 )
的某个邻域
一条射线，
内有定义，
为l上另一点，且
射线l 的参数方程为


存在，
则称此极限为函数 f ( x, y)在点P0沿方向 l 的
方向导数，记作
即
1º 方向导数的其他形式：
注

2º 方向导数的几何意义
过点P0 沿l 作垂直于xOy 面的平面，
与曲面 z = f (x, y)的交线在曲面上相应点M 处的切线MTl(若存在)关于l 方向的斜率:
该平面
l

Tl
z=f(x, y)
3. 方向导数的计算
则
本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算
(1) 用定义
例1
在点 (1, 2) 处沿方向
的方向导数.
解
当函数f(x,y)在点
可微时,又有如下的计算
方向导数的办法.

证由函数
且有
得
则函数在该点沿任一方向的方向导数存在 ,
在点可微 ,
(2) 用公式


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