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方差分析
第三章 方差分析
第一节 单因素方差分析
3. 1方差分析的基本原理
3．1．1方差分析的一般概念
（analpeis Of vanance，ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数据平均数之间的差异显著性。
当然，在多组数据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所有对之间做t检验。但这样做会提高犯I型错误的概率，因而是不可取的。例如，我们打算用一对一对比较的方法检验5个平均数之间的相等性，共需检验d=10对。假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α=，而且这些检验都是独立的，那么 =，α`＝1-=，犯I型错误的概率明显增加。用方差分析的方法做检验可以防止上述问题的出现。方差分析的内容很广泛，上面讲到的那种情况是方差分析中最简单的情况，称为单因素方差分析（one—factor analyss of vcriance）或者称为一种方式分组的方差分析（one-- way classification analysis of vanance）。
表3. 3 单因素方差分析的典型数据
X1 X2 X3……Xi……Xa
1 X11 X12 X13 Xi1 Xa
2 X12 X22 X32 Xi2 Xa2
3 X13 X23 X33 Xi3 Xa3
. . . .
j X1j X2j X3j Xij Xaj
. . . . . .
n X1n X2n X3n Xin Xan
平均数 X1. X2. X3. Xi. X　a　.
 
表中的数据Xij，表示第i次处理下的第j次观测值。
不同处理效应与不同模型
常用如下的所谓线性统计模型（linear statistical model）描述每一观测值：
xij=μ+αi+εij i=1,2,..., α i＝ 1，2，…，α j=1,2,...,n （）
其中： xij是在第i水平（处理）下的第j次观测值。μ是对所有观测值的一个参数，称为总平均数（Overall mean）。
αi是仅限于对第i次处理的一个参数，称为第 i次处理效应（treatment effect）。方差分析的目的，就是要检验处理效应的大小或有无。
εij是随机误差成分。要求模型中的误差。εij是服从正态分布 N（0，σ2）的独立随机变量，并要求各水平的方差均为σ2。
上述模型中，包括两类不同的处理效应。
第一类处理效应称为固定效应（fixed effect），它是由固定因素（fixed factor）所引起的效应。若因素的α个水平是经过特意选择的，则该因素称为固定因素。例如，实验者人为选定的几种不同实验温度、几种不同化学药物或一种药物的几种不同浓度、几个作物品种以及几种不同的治疗方案和治疗效果等。在这些情况中，因素的水平是人为选定的，所检验的是关于n的假设，因此温度、药物、浓度、品种等称固定因素。方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将结论扩展到未加考虑的水平上。处理固定因素所用的模型称为固定效应模型（fixed effect model）或简单地称为固定模型（fixed model）。例 ，目的是从这5个品系中，选出最优者，因而“品系”这个因素属于固定因素，所使用的模型是固定效应模型。
第二类处理效应称为随机效应（random effect），它是由随机因素（random factor）所引起的效应。若因素的α个水平，是从该因素水平总体中随机抽出的样本，则该因素称为随机因素。从随机因素α个水平所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上。在这里αi是一个随机变量，所检验的是关于αi的变异性的假设。处理随机因素所用的模型称为随机效应模型（random effect model）或者简单地称为随机模型（random medel）。例 8．2的动物窝别，是从动物所有可能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考查在窝别之间出生重是否存在差异，因而“窝别”是随机因素。
有时固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的原则外，还可以从另一角度考虑。固定因素是指，因素的水平