无约束优化方法.doc

第四章 无约束优化方法
——最速下降法,牛顿型方法
 概述 
在求解目标函数的极小值的过程中,若对设计变量的取值范围不加限制,则称这种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题,多数就是有约束的,无约束最优化方法仍然就是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理,转化为无约束最优化问题来求解。
为什么要研究无约束优化问题? 
(1)有些实际问题,其数学模型本身就就是一个无约束优化问题。 
(2)通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 
(3)约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 
所以无约束优化问题的解法就是优化设计方法的基本组成部分,也就是优化方法的基础。
 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同,无约束优化方法可以分为两类。
一:间接法——要使用导数的无约束优化方法,如梯度法、(阻尼)牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 
二:直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题,如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
无约束优化问题的一般形式可描述为:
求n维设计变量
使目标函数
目前已研究出很多种无约束优化方法,它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。
无约束优化问题的求解:
1、解析法
可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方程
的解。也就就是求Ｘ＊使其满足
解上述方程组,求得驻点后,再根据极值点所需满足的充分条件来判定就是否为极小值点。但上式就是一个含有ｎ个未知量,ｎ个方程的方程组,在实际问题中一般就是非线性的,很难用解析法求解,要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道,优化问题的一般解法就是数值迭代的方法。因此,与其用数值方法求解非线性方程组,还不如用数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。
2、数值方法
数值迭代法的基本思想就是从一个初始点出发,按照一个可行的搜索方向搜索,确定最佳的步长使函数值沿方向下降最大,得到点。依此一步一步地重复数值计算,最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为
(4、2)
在上式中, 就是第就是 k+1 次搜索或迭代方向,称为搜索方向(迭代方向)。
由上面的迭代公式可以瞧出,采用数值法进行迭代求优时,需要确定初始点、搜索方向与迭代步长,称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了如何在搜索方向上确定最优步长的方法,本章我们将讨论如何确定搜索方向。
最常用的数值方法就是搜索方法,其基本思想如下图所示:
无约束优化方法可以分为两类。一类就是通过计算目标函数的一阶或二阶导数值确定搜索方向的方法,称为间接法,如最速下降法、牛顿法、变尺度法与共轭梯度法。另一类就是直接利用目标函数值确定搜索方向的方法,称为直接法,如坐标轮换法、鲍威尔法与单形替换法。各种无约束优化方法的区别在于确定其搜索方向0d的方法不同。 

最速下降法就是一个求解极值问题的古老算法,1847年由柯西(Cauchy)提出。
4、1、1最速下降法的基本原理
由第二章优化设计的数学基础可知,梯度方向就是函数增加最快的方向,负梯度方向就是函数下降最快的方向,所以最速下降法以负梯度方向为搜索方向,每次迭代都沿着负梯度方向进行一维搜索,直到满足精度要求为止。因此,最速下降法又称为梯度法。由公式(4、2)
可知,若某次选代中己取得点,从该点出发,取负梯度方向
为搜索方向。则最速下降法的迭代公式为
(4、3)
当第ｋ次的迭代初始点与搜索方向已经确定的情况下,原目标函数成为关于步长的一维函数。即
最优步长可以利用一维搜索的方法求得
根据一元函数极值的必要条件与多元复合函数的求导公式,得
或写成
由此可知,在最速下降法中相邻两个搜索方向互相正交。也就就是说在用最速下降法迭代求优的过程中,走的就是一条曲折的路线,该次搜索方向与前一次搜索方向垂直,形成“之”字形的锯齿现象,如图4、1所示。最速下降法刚开始搜索步长比较大,愈靠近极值点其步长愈小,收敛速度愈来愈慢。特别就是对于二维二次目标函数的等值线就是较扁的椭圆时,这种缺陷更加明显。因此所谓最速下降就是指目标函数在迭代点附近出现的局部性质,从迭代过程的全局来瞧,负梯度方向并非就是目标函数的最快搜索方向。
图4、1最速下降法的搜索路径
此外,最速下降法的迭代公式也可以写成下面的形式
(4、4)
将其与式4、3相比较,可知,此处等于4、3式中步长除以函数在点导数的模,而此时的搜索方向也不再就