高中几何线面角的经典求解方法总结.pdf

线面角的三种求法
1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是
解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元
素，它可以起到联系各线段的作用。
例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为
AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。
（2）SC 与平面 ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA,
C
H
B
S
M
A 图 1
∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影，
∴∠SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60°。
（2） 连结 SM,CM，则 SM⊥AB,
又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM,
∴面 ABC⊥面 SCM
过 S 作 SH⊥CM 于 H, 则 SH⊥平面 ABC
∴CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。
∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。
sin ∠SCH=SH／SC
∴SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为√7／7
（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面
垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的
垂线，则得面的垂线。）
2. 利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段
的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线
段的长。
例 2 （ 如图 2） 长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求 AB 与面 AB1C1D
D
C
2
3
A B
4
H
D1