拉梅公式的应用-课件【PPT讲稿】.ppt

拉梅公式的推导和应用——平面弹性变形问题 1°引言?拉梅公式在工程力学中具有重要地位,尤其是在解决弹性力学的平面问题时,不失为一种理想的数学模型。?前一部分给出拉梅公式的数学推导,用到了极坐标下的四类基本方程,即平衡方程,几何方程,本构方程,和变形协调方程。根据平面轴对称问题简化四类基本方程。再联合平面轴对称问题下的应力函数, 得到平面应力问题的解。最后,根据厚壁问题的边界条件得到拉梅公式。?后一部分介绍了拉梅公式在工程上的具体应用实例,并给出具体的数值计算。 2°拉梅公式的推导?弹性理论是一类偏微分方程的边界问题[1] 。所以边界的选择决定着工程问题求解的难以。一般要求坐标轴与受力物体的边界相重合,因此对于圆形、环形、楔形或者带小孔的受力物体选用极坐标会更容易解决问题。 四类基本方程: ①平衡方程:平面上的平衡方程的柱坐标不含 z变量: 10 1 2 0 r r rr r r f r r r f r r r ? ?? ???? ????? ???? ??? ???? ?? ?? ???? ?②几何方程: 11 rrrrr uru r r u r r r ??? ??????? ???????? ????? ??? ?-1 ( ) 1 ( ) 1 r r r r r vEvEG ?? ?? ?? ??? ??? ?? ?? ??应变应力③本构方程: -2 ( ) 12 ( ) 1 r r r r r GvvGvvG ?? ?? ?? ??? ??? ?? ??? ???应力应变④协调方程: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 0 r r r r r r r r r r r r ? ???? ???? ?? ? ??? ???? ?? ?????? ?????? 极坐标应力公式可以看到应力张量第一不变量与坐标选择无关。 2 2 2 222 1 1 1 ( ) rr r x y r r r r r r ???? ?????????? ????? ?? ?? ????? ???? ?? ?????其中为同时满足两个平衡方程的艾里应力函数。⑴ 平面轴对称问题?平面轴对称问题中,应力不仅与 z无关,而且与θ无关,因此,由公式⑴可得柱坐标下的正应力为: 221 ; ; 0 rr r r r ??? ?? ??? ?? ?? ??正应力: 切应力:⑵?对于环向闭合的圆域或、环域,或者平板上的圆孔, θ方向上位移υ的单值条件要求 B值为零。即 B=0, 22 = 2 20 rrACrACr ???????? ??代入(3)式得到:⑷