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高等数学疑难问题选讲
武忠祥
、求极限
二、微分中值定理证明题
、求极限

常见题型:7中不定式
0∞
0
常用方法

常用结论
(1)常用的等价元穷小:当x→0时
x - sin x tanx arcsin r arctan x -In(1+r)e-1;
a-l-xIna, (1+x)-1-a, 1-cosx -x
r-sinrs-r
arcsine- "-
6
tanr-x
r-arctanxs-x
(2)等价无穷小代换的原则
a)乘除关系可以换
b)加减关系在一定条件下可以换
若a~a1,B~B1,且limn=A≠-B~a1-月
P
(3)常用的泰勒公式
(1)e=1+x++o(x2)(2)sinx=x
+0(x3)
3!
(3)cosx=1
+0(x
(4)In(1+x)=x
2!
西安交大经典考题(爱情)
tantanr- sinsin r
lim
x→0
解1】lim
tan tan x-sinsin x =limpsx-x=0
解2】1im
tan tanx-sin sinx
tan x
x→0
li
tan x(1-cos x) 1
x-0
【解少6、 tan tanx- suntan+ suntan- -sin sin x
tan tanx- sin tanx
lim
+lim cos 5(tan r-sin x))
tanx
×c
例1】求极限lim
x-0rIn(1+x)
【例2】求极限 lim arcsin x-sinx
x→0 arctan-tanr
解】原式=lim
(arcsin x-x)-(sinx-x)
x-o(arctanx-r)-(tanx-x
x3)-(-x3)
=lim
(sin x)
【例3】求极1mx2hm(1+x)
sIn
【解】原式=-lim—x3
(lim x=1)
m
x→0+
sinr
ln(1+
sInd-rr
lim
li
sInr-x
lim
lim
x→0x
例4】求极限lm
x-90In(1+sin*x) In(1+x)
解1】原式
In(1+x)-In(1+sin"x)
=lim
In(1+x)-In(1+sin x)
x→0In(1+x2)ln(1+sin2x)x→0
r -sin x
In 1+
1+sinx
=lm
lim
x→0
x→0x4(1+sin2x)
r sinr
r- sin x
li
lim
x→0
x
x→0
1-cosx 1
【解2】原式
In(1+x )-In(1+sin x)
=lim
In(1+x )-In(1+sinx)
=m
x→0In(1+x2)ln(1+sin2x)x→0
(r--sin x)
lim
l+占
(拉格朗日中值定理)
(r +sin x(x-sin x) 1