第3课高等数学建模案例.ppt

“物理学在二十世纪取得了令人惊讶的成功，它改变了我们对空间和时间、存在和认识的看法，也改变了我们描述自然的基本语言。在本世纪行将结束之际，我们已拥有一个对宇宙的崭新看法，在这个新的宇宙观中物质已失去了它原来的中心地位，取而代之的是自然界的对称性。”
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第3课高等数学建模案例
一、对称性的概念源于生活
日常生活中常说的对称性，是指物体或一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。这种美来源于几何确定性，来源于群体与个体的有机结合。
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人体、动植物结构对称
天竺葵 长春草
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建筑物(宫殿,寺庙,陵墓,教堂)左右对称
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硬币游戏中的数学对称
如果你和你的对手准备依次轮流将硬币放在一个长方形桌子上，使得硬币不重叠，最后放上去的人为胜，开始时你有权决定先放还是后放，为了赢得比赛，应该采取什么样的策略？
如图，先放在中心位置肯定能赢，策略如下：先放在中心位置一个，然后根据对手所放硬币情况在中心对称位置放自己的硬币，先在中心位置放的肯定能赢。
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介值定理
定义:
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推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.
例1
证
由零点定理,
第3课高等数学建模案例
例2
证
由零点定理,
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椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析：
模型假设
通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
1. 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;
2. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;
3. 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.
问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有
三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四
脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。
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模型构成
先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
x
B
A
D
C
O
D´
C ´
B ´
A ´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
四只脚着地
距离是的函数
四个距离(四只脚)
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
两个距离

椅脚与地面距离为零
正方形ABCD
绕O点旋转
正方形对称性
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