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燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0，那么S ABO : S AC^BD : DC .
D
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 UABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这
个定理被称为燕尾定理•该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 通过一道例题证明一下燕尾定理：
S : S4 = S2 : S3 = BD : DC
如右图，D是BC上任意一点，请你说明:
【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，
所以有 S：S4二BD:DC ;三角形 ABE与三角形 EBD同高，Si: S^ = ED : EA ;三角形 ACE与三角形
CED 同高，S4：& =ED : EA，所以 S ： S4 =5 ： S3 ；综上可得 0 乜：& =BD : DC .
【例1】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC=4:9 , CE:EA=4:3，求AF : FB .
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】根据燕尾定理得Saaob：Saaoc二BD：CD =4:9 =12:27
S^ AOB : SA BOC
= AE:CE =3: 4 =12:16
（都有△ AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 SAOC : Saboc =27:16 二 AF ：FB
【点评】本题关键是把 △ AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【答案】27:16
【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求AF : FB.
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】根据燕尾定理得Sa aob：Saaoc二BD ：CD =3： 4 =15： 20
Sa aob : Sa boc =AE :CE =5: 6=15:18
（都有△ AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 Sa aoc : Sa boc =20:18 =10:9 =AF ： FB
【答案】10:9
【巩固】如图， BD: DC =2:3 , AE:CE =5:3 ,则 AF : BF 二
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空
【解析】根据燕尾定理有 Sa abg ： Sa acg = 2 ： 3 = 10 ：15 , abg ： Sa bcG =5:3 =10:6,所以
Saacg : Sabcg =15： 6 =5： 2 = AF ： BF
【答案】5: 2
【巩固】如右图，三角形
ABC 中,
BD: DC =2:3 ,
EA:CE =5: 4，求 AF : FB.
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】根据燕尾定理得SaaOb：Saaoc二BD ：CD =2:3=10:15
Sa aob : Saboc = AE : CE =5： 4 = 10 ：8
（都有a aob的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以Sa aoc : Sa boc = 15:8 = AF : FB
【点评】本题关键是把 aaob的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果 能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】15:8 【例2】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?
【考点】
【解析】
【答案】
【难度】3星
燕尾定理
设 bof
【题型】解答
=x，由题意知BD:DC=4:3根据燕尾定理，得
3
SA ABO : SA ACO =SA BDO : SACDO = 4 ：3，所以 S^ ACO (84，X)= 63 X ,
4
3
再根据 Sa abo : Sabco =S^aoe : S^coe，列方程(84 x): (40 • 30) =(63 •—x - 35):35 解得 x =56
4
Sa aoe : 35 =(56 84): (40 30)，所以 S^ aoe =70
所以三角形ABC的面积是84 40 30 35 56 70 =315
315
【例3】 如图，三角形 ABC的面积是1 , E是AC的中点，点 D在BC上，且BD:DC=：1:2 , AD与BE交 于点F .则四边形DFEC的面积等于