(完整word版)高数典型例题.docx

第一章函数及其图形
例 1：丄—・「 ； 「 ； I ■ .•丨：】「--（）.
A. {x | x>3} B. {x | xv-2} C. {x |-2< x < 1} D. {x | x < 1}
解 I = 或工 >3}^={x|jc<1）因此“门丧= .故选^
注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略 与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。
例2:函数-「的定义域为（）.
In r
A. [-2,2] B （1+e） C. Q1）U〔12] D. （0?2]
解：由于对数函数Inx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知Inx工0,即L1。由根式内要非负可
知丨-，1即要有x>0、xm 1与厂!亠4同时成立，从而其定义域为 ：•」 二，即应选C。
例3:下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）
y = 1与尹=ccsa忑亠财'忑
U y = x- 1 与;p 二-—
ZX 丁 ■ In 2h a
解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当 |x|>1时，两函数取得不同的值。
B中的函数是相同的。因为 1 ----- A -:对一切实数x都成立，故应选B。
壬一]
C中的两个函数是不同的。因为 i '的定义域为x工-1，而y=x的定义域为（-%，+x）。
jt + 1
D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-%，0）U（ 0，+^）和（0，+x）。
例 4:设 _■ '： - I " - ■■:
解：在 / ■： - I ■- ' ■ I 令 t=cosx-1，得- 「 - 1 '
又因为-1 < cosxw 1,所以有-2 < cosx-1 < 0,即-2 < t < 0,从而有 门「-「 _ .一
-兀 x 0
例5：设求孑(-2)」⑶J⑴J(2)
工十2 x > 2
lS：/(-2)=(-Jr)|^= -(-2) = 2
y(3) = (x + 2)|^=3 + 2 = 5
f(2)没有定义。
注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中 例6：函数 '是()。
1十r
•有界函数C •单调函数D •周期函数
解：由于 -..._1： -，' ■' '，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即(A)不正确
i +(-xy 1+ x2
由函数在x=0，1, 2点处的值分别为0, 1, 4/5,可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个
周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。
事实上，对任意的x,由 r '，可得二1 - ,从而有I o可见，对于任意的x,
有
N=
因此，所给函数是有界的，即应选择 Bo
例 7:若函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x)是( )。
例8 :函数''
y耳豊的反函数是()。
解：因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) 中令 y = -x，得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x) 为奇函数，故应选A o
B •偶函数 C •非奇非偶函数
,可知 f(0)=0 o 在 f(x+y)=f(x)+f(y) 所以有 f(-x) = - f(x) ，即 f(x)
A.
B.
勢+2
C.
解：+. '
3 +2 l-y l->
于是是所给函数的反函数，即应选 Co
1 - A
例9 :下列函数能复合成一个函数的是（ ）。
A. 「-■ B. - .' 「：'
=玖—=童（工）七遒天 ■厂叭”| < 1山・gS）・3
解：在（A）、（B）中，均有u=g（x） <0,不在f （u）的定义域内，不能复合。在（D）中，u=g（x）=3也不满足 f（u）的定义域”|<】，也不能复合。只有（C）中理=g（H）=抽九在y =孑何的定义域内，可以复合 成一个函数，故应选Co
例10 :：
解：」-：'门代■-乙；J -- ’I ； -- - ： 1 ，三个简单函数复合而成。
第二章极限与连续
例1：下列数列中，收敛的数列是（ ）
A「 ' B. ■ : C. 「、〔 D. -： > _
解：（A）中数列为0，1，0，1， 其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇 偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。
由于 ，故（B）中数列发散。
定的值，因而(C)中数列也发散。
由于
1：-