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第一章函数、极限和连续
§ 函数
一、 主要内容
㈠函数的概念
函数的定义：y=f(x), x € D
定义域：D(f), 值域:Z(f).
:y
f(x)
x
D!

g(x)
x
D2
：
F(x,y)= 0
：
y=f(x) t
-1
x= 0 (y)=f (y)
y=f
-1 (x)
定理：如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
-1 -1 -1
y=f (x), D(f )=Y, Z(f )=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡函数的几何特性
函数的单调性：y=f(x),x € D,X1、X2€ D
当 X1V X2 时,若 f(x 1) w f(x 2),
则称f(x)在D内单调增加();
若 f(x 1) > f(x 2),
则称f(x)在D内单调减少();
若 f(x 1) V f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调增加()；
若 f(x 1) > f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调减少()
函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)
奇函数：f(-x)=-f(x)
函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x € (- +8)
周期：T――最小的正数
函数的有界性：|f(x)| w M , x € (a,b)
㈢基本初等函数
常数函数：y=c , (c为常数)
幕函数： y=x n , (n 为实数)
指数函数：y= ax , (a > 0、1)
对数函数： y=log a x ,(a > 0、a 丰 1)
三角函数： y=sin x , y=con x
y=ta n x , y=cot x y=secx , y=cscx
6. 反三角函数： y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数和初等函数
1. 复合函数：
y=f(u) , u= $ (x)
y=f[ $ (x)] , x € X
初等函数 :
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函 数
§ 极 限
一、 主要内容
㈠极限的概念
1. 数列的极限
lim yn
n
称数列 yn 以常数 A 为极限 ;
或称数列 yn 收敛于 A.
定理 : 若
yn 的极限存在
yn
必定有界 .
2. 函数的极限：
⑴当 x
时，
f(x)
的极限：
lim
f (x)
A
x lim
x
f (x)
A
lim
x
f(x) A
⑵当 x
x0 时，
f (x)
的极限：
lim
f (x)
A
x x0
左极限：
lim
f (x)
A
x x0
右极限:
lim f(x)
x X0
⑶函数极限存的充要条件:
定理：ximf(x)A !imf(x)
lim f (x) A
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量:
lim f (x)
xo，x xo，x xo
称在该变化过程中 f(x) 为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
：lim f (x) 0
称在该变化过程中
f(x)
为无穷小量。
无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
lim f (x)
lim
无穷小量的比较:
lim
0,lim
,(f(x) 0)
0
⑵若1im
C (c为常数)，则称炸同阶的无穷小量;
卄 lim —
0
⑴若
，则称B是比a较高阶的无穷小量;
lim—
⑷若
，则称B是比a较低阶的无穷小量。
lim—
1
⑶若
，则称B与a是等价的无穷小量，记作：B〜a；
定理：若： 1 ~ 1 ,
则:
lim
lim
㈢两面夹定理
1. 数列极限存在的判定准则:
设：yn
Xn
Zn (n=1、2、3…)
且：
lim
n
Yn
lim zn a
n
则：
lim
n
Xn
a
2. 函数极限存在的判定准则：
设：对于点X。的某个邻域内的一切点
（点Xo除外）有：
g（x） f（x） h（x）
lim g(x) lim h(x) A
且: XX。 x X。