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培优辅导：《圆的证明与计算》 专 题(郭艳超2016/3/14 )
一、 考点分析：
圆中的重要定理：
圆的定义：主要是用来证明四点共圆•
垂径定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等
三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等
圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等 •
切线的性质定理：主要是用来证明一一垂直关系 .
切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线 •
切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等 •
圆中几个关键元素之间的相互转化 ：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化 •这在
圆中的证明和计算中经常用到 •
二、 考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第 2问主要是与圆有关的计算：①求线段长(或面 积)；②求线段比；③求角度的三角函数值(实质还是求线段比) 。
三、 解题秘笈：
1、判定切线的方法：
若切点明确，则"连半径，证垂直” 。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证 垂直；
若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ；②直线与半径的关系
是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化 ，要善于进行由此及彼的联想、要总结
常添加的辅助线•例：
2、 与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式 复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已 知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段 可求其它所有线段长)；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三 角函数.
方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方 程，解决问题。
建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通 过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3、 典型基本图型：
图形1 :如图1： AB是O O的直径，点E、C是OO上的两点，基本结论有:
(1)在“ AC平分/ BAE； “ADLCD； “DC是O O的切线”三个论断中，知二推一。
C
E
B
C
E
A
B
E
C
B
(2)如图2、3, DE等于弓形BCE的高；DCAE的弦心距 OF(或弓形
D D D
BCE的半弦 EF）。
D
E C
如图，AB是O O的直径，Bd AB AD// OC交O O于D点，求证：CD为O O的切线；
如图，以Rt△ ABC勺直角边 AB为直径作O Q交斜边AC于 D,点E为BC的中点，连结DE求证:
DE是O O的切线.
(3)如图，以等腰厶 ABC勺一