(完整版)导数知识点总结及应用.docx

《导数及其应用》知识点总结
f(X2) f(Xi)
X2 Xi
、导数的概念和几何意义
函数的平均变化率：函数 f(x)在区间［x1, x2］上的平均变化率为:
一x) f(xo)无限趋近于一个常数
x
导数的定义：设函数 y f (x)在区间(a,b)上有定义，x0 (a,b)，若 x无限趋近于 0时，比值
A,则称函数f (x)在x xo处可导，并称该常数 A为函数f(x)在
x xo处的导数，记作 f (Xo)。函数f(x)在x xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
求函数导数的基本步骤：( 1 )求函数的增量 y f (X) x) f(x0) ； ( 2 )求平均变化率：
一X) f(Xo) ； ( 3)取极限，当 x无限趋近与0时，空°一X) f(Xo)无限趋近与一个常数 A,则
X X
f (Xo) a .
导数的几何意义：
函数f(x)在X Xo处的导数就是曲线y f(x)在点(Xo, f(Xo))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求
曲线的切线方程，具体求法分两步：
求出y f(x)在xo处的导数，即为曲线 y f(x)在点(xo, f(xo))处的切线的斜率；
在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 y yo f (Xo)(x Xo)。
当点P(Xo, yo)不在y f (x)上时，求经过点P的y f (x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到 切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。 特别地，如果曲线y f(x)在点(冷严(冷))处的切线平行与y轴,
这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为 x Xo。
导数的物理意义：
质点做直线运动的位移 S是时间t的函数S(t)，则V S(t)表示瞬时速度，a v(t)表示瞬时加速度。
二、导数的运算
常见函数的导数：
(1) (kx b) k( k, b 为常数)；
(2) C 0( C为常数)；
(3) (x) 1 ；
(4) (x2) 2x ；
(5) (x3) 3x2 ；
(6) (1) 斗；
x X
(7) (x) -1—；
2(x
(8) (xa) oxa 1 ( a 为常数)；
(9) (ax) axlna(a 0,a 1)；
(11) (ex) ex ；
(13) (sin x) cosx ;
2. 函数的和、差、积、商的导数：
(1)[f(x) g(x)] f (x) g(x)；
(10) (log a x) ^logae 丄(a 0,a 1)； x xin a
(12) (in x) 1 ;
入
(14) (cosx) sinx。
(2) [Cf(x)] Cf (x) (C为常数)；
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x) ; (4) f (x)g(x)2 f(x)g (x) (g(x) °)。
g(x) g (x)
3. 简单复合函数的导数：
若 y f (u), u ax b，贝y yx yu ux，即 y* yu a。
三、导数的应用
1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y f(x)在区间(a,b)内可导，
如果恒f (x) 0 ,则函数y f (x)在区间(a,b)上为增函数；
如