(完整版)必修四向量加法运算及其几何意义(附答案).docx

向量加法运算及其几何意义
［学****目标］1•理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义 2掌握向量 加法的三角形法则和平行四边形法则， 并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算 3 了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性.
知识点一向量的加法
1 .向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任一向量 a,规定0 + a = a+ 0= a.

如图，已知非零向量 a, b,在平面内任取一点 A,作AB = a, BC =
三角形法则
b，则向量Ac叫做a与b的和，记作 a + b，即a + b= AB + BC = Ac
0
A
如图，已知两个不共线向量 a, b,作Ab = a, AD = b,以Ab, Ad为
邻边作？ABCD,
平行四边
形法则
则对角线上的向量AC = a+ b
思考 如图，已知向量a, b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量 a + b.
答案 作法1:在平面内任取一点 O,作OA= a, Ab = b,则OB = a+ b.
作法2:在平面内任取一点 0,作OA= a, OB = b,以0A, OB为邻边作？OACB ,连接0C , 则 Oc = OA + 0B= a+ b.
结合律
(a+ b) + c= a+ (b + c)
知识点二 向量的加法和向量的模
当向量a与b不共线时，a + b的方向与a, b都不相同，且|a + b|<|a|+ |b|; ⑵当a与b同向时，a+ b, a, b的方向相同，且|a+ b|=|a|+ |b|;
(3)当a与b反向时，若|a|> |b|,则a+ b与a的方向相同，且|a+ b|=|a|—|b|. 若|a|<|b|,则a+ b与b的方向相同，且|a+ b|= |b|— |a|.
知识点三向量加法的运算律
交换律
a+ b= b+ a
思考1 根据下图中的平行四边形 ABCD，验证向量加法的交换律：a+ b= b+ a.(注：AB = a,
AD = b)
a —a
答案 •/ AC= AB+ BC ,••• AC= a + b.
•/Ac=Ad + DC, • AC= b+ a.
a + b = b+ a.
思考2 根据下图中的四边形 ABCD，验证向量加法的结合律:
(a + b) + c= a+ (b + c).
答案•/ AD = AC + CD = (AB + BC) + CD,
AD = (a + b) + c,
—> —> —> —> —> —> 又••• AD = AB + BD = AB+ (BC + CD),
•• AD = a + (b + c),
•- (a+ b) + c= a + (b + c).
丰点突皈
题型一向量加法及其运算律 例i化简:
BC+ Ab ; (2)DB + CD + BC;
(3)AB+ DF + CD + BC+ FA.
~> ->
解 ⑴ BC + AB = AB + BC = AC.
DB + CD + BC = BC + Cd + DB =(BC+ CD) + DB = BD + DB = 0.
AB+ DF + CD + BC+ FA
=Ab + BC+ cd + DF + FA =AC + CD + DF + Fa
=Ad + Df + fA
=AF + FA= o.
跟踪训练1如图，在平行四边形 ABCD中，0是AC和BD的交点.
ab+Ad = ；
Ac+ Cd + DO =
AB+ AD + CD =
AC+ ba + DA =
题型二 向量加法在平面几何中的应用 例2 已知四边形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,且A0= 0C , DO = OB.
求证：四边形 ABCD是平行四边形.
证明 AB= AO + OB, DC = Do + OC,
又••• A0= Oc, Ob = Do, ••• Ab= DC ••• AB = CD 且 AB // DC.
•四边形ABCD为平行四边形.
跟踪训练2如图所示，在四边形 ABCD中，AC = AB + AD，试判断四边形的形状.
解•/ ac= Ab+Ad ,
—> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —> —>
••• DC = DA + AC= DA + AB + AD = DA + AD + AB= AB，即 DC = AB.
•••四边形ABCD为平行四边形.
题型三 向量加法的实际应用 例3在