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含有绝对值的不等式的解法
【学****障碍】
.
.对于| ax+ b |v c与I ax+ b |> c(c>0)两种类型的不等式的解法分辨不清.
.
【学****策略】
⑴一般地，不等式I x|v a(a> 0)的解集是：｛x I - av xv a｝.
⑵不等式I x |> a(a> 0)的解集是｛ x I x> a或xv - a｝.
(3)其推论为：I ax+ b Iv c(c> 0)的解为：一cv ax+ b v c
I ax+ b I> c(c>0)的解为 ax + b>c或 ax+ bv — c.

1 .不等式a<I x I v b(b > a> 0)的解法.
-S -A 0 * b x
图 1 —11
|X| a 可以利用绝对值在数轴上的意义直接得出 aw x v b或—bv x<— 1 x 1 b来解.
［例1］解不等式1<I 2x — 1 I v 5.
思路一：这是一个双连不等式， 利用绝对值在数轴上的意义可以得出 1W2— 1v 5或—5v 2x — 1w— 1,
从而求出不等式的解.
解：原不等式等价于 1W2 — 1 v 5或一5v 2x— 1<— 1，即：2W2 v 6或一4v 2x<0.
解得：1 W v 3 或—2v xW0.
1Wxv 3}
故原不等式的解集为｛ x I — 2 v x<0或
思路二：将原不等式转化为
|2x
|2x
1|
1|
|2x 1| 5
解：原不等式等价于
|2x
1 | 1
2x 1
1 5
2x
1 5
2x 1
1 5
2x
1 5
即①2x1
1 1
或②2x
1 1
不等式组①的解为
1<x v 3.
不等式组②的解为一
进而求出①与②不等式解集的交集.
2v x W0.
误区点评：在进行原不等式等价转化时，容易发生以下失误.
在第一种解法中，将不等式转化为 K2 — 1 V 5或—1W2— 1V 5,
在第二种解法中，将不等式转化为
5 2x 1 5
2x 1 1
2x 1 1
2 •含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法.
［例2］解不等式丨x + 3| + | x— 3|> &
思路一：这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，应进 行分类讨论.
解：令 x + 3 = 0, x— 3= 0，得 x= — 3 或 3.
x
3
•••①
x
3
x
3
8，解得：x > 4
3
x
3
②X
3
x
3
8
，解得： .
x
3
③
x
3
x
3
8，解得：x v —
取①②③的并集得原不等式的解为 x> 4或xv— 4.
点评：解这类绝对值符号里是一次式的不等式如：| x — a | + | x— b |> c或| x— a | — | x — b | v
c,| x — a |>| x — b |或| x — a |> x — b常用"零点分段法”.其一般步骤为：
分别求出每个绝对值为零的根，称之为零点；
将各零点在数轴上标出来，它们将数轴分成若干段；
依次对各段上的x进行讨论，求出相应所得不等式的解集；
取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集.
思路二：利用函数的图象解题.
解：分别画出 y1=| x + 3 | + | x — 3 |与y2= 8的图象.
1
\
/
口
6
-4-3
3 4 埼
图 1 —12
2x x 3
6 3x3
2x x 3
yi=
由图象观察可知：要使 yi >y2,只须xv — 4或x>4.
原不等式的解集为{ x | x v— 4或x > 4}.
思路三：利用绝对值的几何意义解题.
解：| x + 3 | + | x — 3 | > 8
川 S1
-4-3 0 3 i 戈
图 1 —13
表示数轴上与 A( — 3), B(3)两点距离之和大于 8的点，而| AB |= 6,如图1 —12.
因此，要找与A、B距离之和为8的点，只须由点B右移1个单位，或点A左移一个单位，如图1— 13. 由图象可得：原不等式的解集为{ x | x V— 4或x > 4}.
点评：对于形如 | x — a| + | x+ b | > c, | x — a | — | x— b | v c,或| x— a |>| x— b | 的不等式，
利用不等式的几何意义或者画出左右两边的图象去解不等