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四川省宜宾市第三中学2014高一教学论文 抽屉原理在高中数学竞
赛中的一些构造及其应用
抽屉原理在高中数学竞赛中的
一些构造及其应用
抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用
内容摘要：抽屉原理是国际国内高中数学竞赛中的重要内容， 本文目的是探讨抽屉原理在高
中数学竞赛中的一些构造及其应用。 首先介绍了抽屉原理及其一些相关推论， 从而对原理实
质有了一定了解，再在此基础上研究了抽屉原理常用的八种构造方法： 利用几何图形做抽屉、
利用区间构造抽屉、利用整数分组做抽屉、用状态制作抽屉、利用染色体造 抽屉、以集合
作抽屉、以元素对作抽屉、 按同余类造抽屉，并结合高中数学竞赛中的具体例子进行了详细 分析。本文展现了抽屉原理在高中数学竞赛中的作用，对高中数学的教学等具有重要意义。
关键词：抽屉原理构造方法应用数学竞赛
目录
1引言 2
2抽屉原理简介 2

2
3
3抽屉原理相关推论 2
3
4构造抽屉的方法 4
2
4
2
6
2

2
8
5抽屉原理的应用 2
9

6结论 12
参考文献： 2
抽屉原理在高中数学竞赛中的一些构造及其应用
1引言
“抽屉原理”最先是由 19世纪的德国数学家狄利克雷 （Dirichlet）运用于解决数学问题的，所
以又称“狄利克雷原理”，也有称“鸽笼原理”的。简地说就是：把 3个苹果放入两个抽屉
中，必有一个抽中至少有两个苹果；把 3个苹果放入4个抽屉中，必有个抽屉中没有苹果。
这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题， 并且常常得到一些令人惊异
的结果。中学生在应用抽屉原理解决问题时， 往往不能进行系统总结，从而对问题的实质看
不穿。
“抽屉原理”是一个重要而又基本的组合原理， 是非常规解题的的重要类型， 例如文献［1-3］ 主要叙述了抽屉原理的一些基本形式及其性质。文献 ［4］的衡阳技师学院的赵晶老师着重研
讨了运用抽屉原理时构造抽屉的技巧， 并归纳抽屉原理的适用范围和运用时的注意事项。 而 文献［5］中广东三水广播电视大学的钟颖老师从所给出的通俗表述形式出发，细分下去，得 出了鸽笼原理更全面、 更广泛的通俗表述形式。 文献［6-9］从实际例子出发，介绍了抽屉原理
在实际生活中的应用。 文献［10-12］则从抽屉原理的一些细节问题上出发进行了深入讨论。 文
献［14］是从高观点下中学数学的角度分析了抽屉原理。最后文献 ［13-15］介绍了抽屉原理在应
用时的一些方法。
2抽屉原理简介

一般组合数学的教材关于鸽笼原理的简单形式为：
n
A > 1 . U A A
设A是有限集，A T+1 , A A（I 1,2，……，n），且i 1 ，则必有正整数
k(1< kS),使得 Ak》2。
其通俗表述为：如果 n 1只鸽子飞进n个笼子， 则必有一个笼子，该笼子里至少有 2只鸽
子。
关于鸽笼原理的一般形式为:
设 A 是 m ( m> 2 )元集，A A(i
n
，n），且UAi A，则必有正整数
Ak >
匕仁kwn），使得 其通俗表述为：如果 m（m》2）只鸽子飞进n个笼子，则必有一个笼子，该笼子至少有
1
只鸽子。

通俗表述形式并没有指出这 n个笼子的性质，要强调这n个笼子的互不相干性。假定问题为: 7个皮球放进6个抽屉里，则必有一个抽屉，该抽屉至少有 2个皮球。这种表述形式合理的
前提条件为这6个抽屉互不相干。试分析一下，如果这个 6抽屉有一大套一小的情形出现，
则此结论就有问题了。 另外，在应用鸽笼原理的通俗形式解决实际问题时， 要注意放入对象
的完整性（即不可分割性）。若假设问题为7对鞋放进6个互不相干的抽屉里，则必有 1个抽 屉，该抽屉里至少有2对鞋的结论并不正确。 原因是一对鞋并不是一个不可分割的整体， 而
是可分离的对象。所以可以出现有2个抽屉放入一对半鞋，其余个4抽屉放入一对鞋的情形。
除了要指出放进对象与被放进对象性质之外，还存在至多与至少问题。由前知： 7只白鸽飞
进3个互不相干的笼子里， 至少有一个笼子里至少有 3只白鸽，这个结论是很显然的。 如假 定问题：7为只白鸽飞进3个互不相干的笼子里，至少有一个最大笼里至少有几只白鸽？至 少有一个最小笼里至多有