中八年级集合培优讲义20190715第6讲 夹半角模型.pdf

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第 6 讲 夹半角模型
知识目标
模块一 夹半角的模型 例 1、例 2、例 3 难度：★★★
模块二 夹半角的应用 例 4、例 5、例 6 难度：★★★★
模块一 夹半角的模型
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夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。
这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。
夹半角的常见分类：
（1）90 度夹 45 度
（2）120 度夹 60 度
（3）2α夹α
题型一 90 度夹 45 度
【例 1】 如图，正方形 ABCD 中， E 在 BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF＝45°，求证：（1）BE＋DF＝EF
（2）∠AEB＝∠AEF
【练****在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其余条件不变，证明：
（1）DF－BE＝EF
（2）∠AEB＋∠AEF＝180°
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夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：
（1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是 AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝
MN2
（2）如图，正方形 ABCD 中， F 为 CD 中点，点 E 在 BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点 E 为线段 BC 靠
近 B 的三等分点．
题型二 120 度夹 60 度
【例 2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是 AB、AC 上的动点，且
∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN．
【练****如图，四边形 ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在 AD、DC 延
长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．
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真题演练
在等边△ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N．D 为△ABC 外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC
＝120°，BD＝DC．探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系以及
△AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系．
（1）当点 M、N 在边 AB