四点共圆充要条件.pdf

一个经典几何的计算法
问题:设 ABCD 为凸四边形,AC 交 BD 于 P. ABP,BCP,CDP,DAP 的内心依次
为 .求证: 四点共圆当且仅当 ABCD 有内切圆.
I1 , I2 , I3 , I4 I1 , I2 , I3 , I4
注:本题有几何法,下面是三角计算 A d
证明: I , I , I .I 四点共圆时, D
1 2 3 4 x
w
a I4
   (1)
PI1 PI3 PI2 PI4 I α P c
1 I
z 3
设 PA=x, PB=y, PC=z, PD=w. y
AB=a, BC=b, CD=c, DA=d.   C
APB B b
r
PI  1 ( r 为 I 的半径)
1  1 1
sin
2
1 1

r r r r r r (r  r )(1  cos)
从而可知(1)  1 3  2 4  1 3  1 3 (2)
2  2  1 1 (r  r )(1  cos)
sin cos  2 4
2 2 r2 r4
xy sin wz sin (x  y  z)(x  y  z) (w  z