通信过程中的随机过程.doc

第一章复****题
在掷骰子实验中，用1,2,3,4,5,6来标注正六面体的六个面，，，试求和.
解 :
袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为和，两个黑球标有3和4，记为和，事件、、定义如下：
（事件“白球被选中”）
（事件“标号为偶数的球被选中”）
（事件“标号大于2的球被选中”）
试求和.
解 ，
由定义知
，
袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为和，两个黑球标有3和4，记为和，事件、、定义如下：
（事件“白球被选中”）
（事件“标号为偶数的球被选中”）
（事件“标号大于2的球被选中”）
试判断事件和是否独立？事件和是否独立？
解 由，知
所以事件和互相独立。
由于事件的概率为，事件的概率为，所以
也即事件和不互相独立。
设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为和，试分别求信道输出0和1的概率.
解 信道的错误概率为意味着，因此。由全概率公式知
同理
设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为和,试求在输出是1的条件下输入是1 的概率，以及输出是0的条件下输入是1的概率.
解 由Bayes公式知
同理，可求得
某通信网可以支持三种类别的业务。，，，；对于第2类业务，；对于第1类业务，。试求该通信网中任何一个业务发生阻塞的概率。
解 用，，分别表示“第一个业务是第1、2、3类业务”这个事件。用表示“第一个业务发生阻塞”这个事件，这样
设事件和的概率分别为和，试分别在下列条件下求：
1）和独立
2）和互斥
解 ：由于事件和独立，事件的概率为
由于事件和互斥，事件的概率为
已知集合，试给出三个定义于集合上的Borel集。
解 显然和和
证明若，则
证明 因为
所以，即，
得到，
所以
第二章复****题
在通信系统中，一条消息的传输时间是一个随机变量，它遵循指数概率分布律，也即
，
其中是一个正常数。试求的概率分布函数和概率密度函数，并求出。
解 的概率分布函数为，因此
的概率密度函数为
此外
在排队系统中，一个到达顾客的等待时间是一个随机变量。若系统中无其他等待顾客，则等待时间为0；若系统中有其他顾客，则等待时间是一个参数为的指数分布。设系统中有顾客等待和无顾客等待的概率分别为和。试求的概率分布函数和概率密度函数。
解： 顾客等待时间的概率分布函数为
其中和分别表示系统中无顾客等待和有顾客等待，则由题意知概率分布函数为
概率密度函数为
试证明概率密度函数为
的正态随机变量的均值为，方差为 。
解 由概率密度函数的性质知有如下式成立：
（1）
将（1）式对求导，得
由此知道，该正态随机变量的均值为。再对（1）关于求导得
从而可得
试根据正态随机变量的概率特征函数求其均值和方差。
解 正态随机变量的特征函数为
计算有，。所以
设是一个参数为的Bernuoulli的随机变量，，，试求改随机变量的熵。
解：根据熵的定义知道，改随机变量的熵为
已知指数分布随机变量的概率密度函数为，，其中为正常数。试求指数分布的熵。
解
试求均值为、方差为的Gauss随机变量的熵。
解 由熵的定义知道
某二维随机向量的联合概率分布函数为
其中和是两个正常数。试计算下面三个事件的概率：，，和为两个正数，。
解 由联合概率分布函数的性质知
设和独立同分布的标准正态随机变量，令，，其中，，试求的联合概率密度函数和边界概率密度函数。
解 令，，得到，，因为和的联合概率密度函数为
因此，的联合概率分布函数为
对上述积分做变量变换，并对和求导得
，
，
设二维离散型随机向量的样本空间为
且每个样本点所对应的单点事件的概率都是1/4,试求该随机向量的联合熵
解 该随机向量的联合熵为
试证明：随机变量和的相关矩满足下列Schwartz不等式：
等号成立当且仅当成立，其中是实数。
证明 对任意实数有下面的不等式成立
因此，该关于变量的二次多项式的判别式小于等于零，也即有
从而可以导出Schwartz不等式。
设有某个简单通信系统的输入电压是