求轨迹方程的常用方法(例题及变式).docx

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求轨迹方程的常用方法：
题型一 直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法，
根据所满足的几何条件，
将几何条件 { M | P( M )} 直接翻
译成 x, y 的形式 f ( x, y) 0 ，然后进行等价变换，化简
f ( x, y) 0 ，要注意轨迹方程的纯
粹性和完备性， 即曲线上没有坐标不满足方程的点，
也就是说曲线上所有的点适合这个条件
而毫无例外（纯粹性） ；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性） 。
例 1 过点 A(2,3) 任作互相垂直的两直线 AM 和 AN ，分别交 x, y 轴于点 M , N ，求线段
MN 中点 P 的轨迹方程。
解 ： 设 P 点 坐 标 为 P( x, y) ， 由 中 点 坐 标 公 式 及 M , N 在 轴 上 得 M (0,2 y) ，
N (2x,0) ( x, y R)
AM
AN
kAM
kAN
1
0
3
2 y
3
1 ( x 1)
，化简得 4 x 6 y
13
0 (x 1)
2 x
2
0
2
3
当
时，
M (0,3)
，
N ( 2,0)
，此时
MN
的中点
P(1,
0 ，
2
所以中点 P 的轨迹方程为 4x
6 y 13
0 。
变式 1
已知动点 M ( x, y) 到直线 l : x
4 的距离是它到点
N (1,0) 的距离的
2 倍。
（1 ）
求动点 M 的轨迹 C 的方程；
（2 ）
过点 P(0,3) 的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点。若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜
率。
题型二 定义法
-可编辑修改 -
。
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定
义法求轨迹方程。
例 2
动圆 M 过定点 P(
4,0) ，且与圆 C : x2
y 2
8x 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹
方程。
解：根据题意 || MC | | MP ||
4 ，说明点 M 到定点 C、P 的距离之差的绝对值为定值，
故点 M 的轨迹是双曲线。
2a
4
a
2 ， c
4
b
c2
a 2
12
x 2