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文档分类:汽车/机械/制造

数分选讲讲稿第19讲(1).doc


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数分选讲讲稿第19讲(1).doc
文档介绍:
讲授内容
备注
第十九讲
3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式
例15证明:当时,

证已知,(,只有时,等号成立)
在此式两端同时取上的积分,得

再次取上的积分,得
第三次取上的积分,得
所以
上式再在上的积分,得

再在上的积分,得
例16设是上连续的凸函数.试证:
,有

证令,则

3学时





几何解释:























同理,令,则

从而

注意到
与关于中点对称,又为凸函数,所以


另一方面,由(1)式及的凸性



例17设函数在上递增.试证:
函数为凸函数.
证在上递增,



所以,为凸函数.







方法III可推广.

不等式的积分形式称为
不等式












第二项积分值大于零.

例18设,在上连续,
且,在上有定义,并且有二阶导数,试证:

证I(利用积分和)将区间等分,记

,为凸函数.
由詹禁定理,取,



令,得

证II(利用公式)


















注意,
在上式中,令,然后两边乘以,得

在上取积分



其中




§4.5不等式
一、不等式及不等式
1.不等式
设为任意实数,则
(不等式)

其中等号当且仅当与成比例时成立.
证1(判别式法)

上式是关于的二次三项式,保持非负,故判别式

证II(配方法)




因此,不等式成立.
等号成立当且仅当,.
证III(利用二次型)

即关于的二次型,非负定,因此


2.不等式
设在上可积,则


若在上连续,其中等号当且仅当存在常数,使得时成立.(不同时为零)
3.不等式的应用
例1已知,在上连续,
为任意实数.求证:

证第一项应用
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  • 时间2021-04-19