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文档分类:汽车/机械/制造

数分选讲讲稿第34讲(1).doc


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数分选讲讲稿第34讲(1).doc
文档介绍:
讲授内容
备注
第三十四讲
§6.4隐函数存在定理
对方程而言,隐函数存在定理是:满足

及在的某邻域内连续,
则方程在的邻域里确定了唯一的隐函数.
具体来说,即,及函数,满足:
i);
ii)
其中;
iii)满足条件i)、ii)的函数是唯一的;
iv)在内连续.
若附加条件:在的邻域内连续,
则存在, 且.
  例1给定方程
1)说明在点的充分小的邻域内,此方程确定唯一的、连续的函数,使得;
2)讨论函数在附近的可微性;
3)讨论函数在附近的升降性(单调性);
4)在点的充分小的邻域内,此方程是否确定唯一的单值函数,使得?为什么?
3学时



注:定理的条件只是充分条件,而不是要条件.











偏导数是两个特殊方向的方向导数



梯度方向是函数变化最剧烈的方向,或个方向导数的最大值就是梯度的模

解1)
  ,;
显然及在的邻域内连续,
由隐函数存在定理,在点的某邻域内存在唯一隐函数,连续,.
2)也在的邻域内连续,
所以函数的导数存在,且
         
3)为讨论在附近的升降性,考虑的符号,
由得出,当充分接近时,的符号取决于分子的符号.
,由知 ,
 (当时)
于是 
的符号与的符号相同.
时,,
时,.
可见,在处取(严格)极大.
4)(用隐函数存在定理不能判定在的邻域内是否存在唯一的单值函数,使得,)
由3)知,在处取(严格)极大,故在的充分小
的邻域内,当时,至少有二个与对应.而当时,无



书P100EX5






外法线方向








对一元函数





注:本结论可推广到中.


与对应,使得.
所以不能确定,使得.
§6.5方向导数与梯度
一、方向导数的计算
1)利用定义
函数在点处沿单位向量方向的方向导数定义为

2)利用偏导数与方向导数的关系
若在点处可微,则在点沿任意方向的方向导数存在,且

3)利用梯度与方向导数的关系
若在点处可微,则在点沿任意方向的方向导数存在,且


其中表示与的夹角.
例1设

试证:在点沿任意方向的方向导数存在,但在


















处不可微.
证 取任意方向
则  
     
于是  
       
可见在处沿任意方向的方向导数存在.
不可微性是课本上的例题.
例2证明:
在处沿任意方向的方向导数为

证 
       
   
  
   

若,,.
总之,有

例3求在椭球面上的点处的外法线方向的导数.
解 法向量
单位法向量
其中.
因此,
   
          .
例4设是区间上的可微函数,在直角坐标平面内,其图像为曲线.若二元函数在包含曲线的某区域上连续可微(即具有连续的偏导数).且在曲线上恒为0.求证:在曲线上任一给定点处沿该曲线切线方向的导数等于0.
证 设是曲线上任意点处的单位切向量,则


可见只要找出,便得所证结果.
由已知条件          
两边关于求导    
    
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  • 上传人sxlw2016
  • 文件大小255 KB
  • 时间2021-04-19