王晓峰著《线性代数》习题解答.doc

王晓峰著《线性代数》习题解答
第一章
1.    解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示.
1); 2); 3).
解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得2y=-1, y=-1/2, 再代入第个方程解得x=1+1/2=3/2, 绘出图示如下图所示, 两直线相将于一点方程有唯一解.
2) 将第二个方程除以3得, 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解, 绘出图示如下图所示
3) 将第2个方程除以2, 可以得到第一个方程, 令y=t为任意实数, 则x=1+t, 方程组的解集为(1+t, t), 图示如下图所示, 方程的解集为一条直线.
 
2. 用Gauss消元法解下列线性方程组.
1) 2)
3) 4)
解: 1) 对增广矩阵进行变换:
则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有无穷多解, 解集为
(10-3t, 5t-7, t).
2) 对增广矩阵进行变换:
则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=-t, x2=2t-1,
解集为(-t, 2t-1, t).
3) 对增广矩阵进行变换:
方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.
4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换
可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.
 
3. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.
1) 无解: 2) 有唯一解:

3) 有无穷多解:
解:
1) 对增广矩阵作变换:
因此, 要使方程组无解, 须使8-3k=0, 解得k=8/3, 即当k取值为8/3时, 方程无解.
2) 对增广矩阵作变换:
因此, 如要方程组有唯一解, 必须有, 即.
3) 对增广矩阵作变换
因此, 如要方程组有无穷多解, 必须4-4k=0, 即当k=1时, 方程组才有无穷多解.
 
4. 证明: 如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0, 那么a=b=c=0.
证: 既然对所有的实数x都有ax2+bx+c=0成立, 那么具体地分别取x=0, x=1, x=2代入上式也成立, 则有
, 这是关于a,b,c的齐次线性方程组, 对其系数矩阵作变换:
看出此方程只有唯一零解, 因此有a=b=c=0.
 
5. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.
1) 2)
3) 4)
解: 1) 方程组有一个自由变元x2, 因此方程组有无穷多解.
2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.
3) 第三个方程0=4说明此方程无解.
4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.
 
6. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..
1) 2)
3)
解: 1) 对增广矩阵进行变换:
方程组无解.
2) 对增广矩阵进行变换
可以看出y和w为自由变元, 则令y=s, w=t, s与t为任意常数, 则x=100-3s+96t,
z=54+52t. 方程的解集表示为(100-3s+96t, s, 54+52t, t).
3) 对增广矩阵进行变换
可知y与z为自由变元, 令y=s, z=t, s与t均为任意实数, 则
, 方程组的解集为
 
7. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.
1) 2)
解: 1) 对系数矩阵作初等变换.
方程只有零解, x=y=z=0.
2) 对系数矩阵作初等变换
因此, w为自由变元, 令w=t为任意实数, 则x=-2t, y=0, z=t, 方程组的解集为
(2t, 0, t, t).
 
8. 设一线性方程组的增广矩阵为
求α的值使得此方程组有唯一解.
解: 对增方矩阵求初等变换
因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足α+2≠0, 即α≠-2.
 
9. 设一线性方程组的增广矩阵为
1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.
2) β取何值时方程组有无穷多解?
解: 1) 此方程一定有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解.
2) 对此增广矩阵做初等变换
因此, 只有当β+5=0, 即β=-5时,方程才有无穷多解.
 
10. 求λ的值使得下述方程组有非零解.
解: 对系数矩阵作初等行变换:
因此, 要使方程有非零解, 必须有(λ-2)2+1=0, 但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0, 因此, 无论λ取什么值此方程组都不会有非零解.
 
11. 求出下列电路网络中电流I1,I2,I3的值.
解: 根据基尔霍夫定律可得如下方程组:
对增广矩阵做初等行变换
最后得