第10章计算机数学基础下线性方程组的数值解法.doc

第10章线性方程组的数值解法
设线性方程组
a11x1+ a12x2+ a13x3+……+ a1nxn=b1
a21x1+ a22x2+ a23x3+……+ a2nxn=b2
……
an1x1+ an2x2+ an3x3+……+ annxn=bn
记为矩阵的形式 AX=b
其中
b1
b2
…
bn
x1
x2
…
xn
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
……
an1 an2 an3 … ann
A= X= b=
A是一个n阶方阵,X和b是n×1的列阵或n维列向量。当|A|≠0时,方程组的解存在且唯一。
线性方程组的基本解法一般分为两大类:其一是直接法,如:克莱姆法则和高斯消去法;另一种是迭代法。
高斯消去法
知道高斯消去法的基本思想,熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
消去法就是按特定顺序进行的矩阵行初等变换法,当消元是按自然顺序进行时,称为高斯顺序消去法。
---设线性方程组AX=b,对增广矩阵[A┇b ]顺序作初等行变换,使矩阵A化为上三角形矩阵,再回代,从而求得线性方程组的解。要求在作初等行变换消元过程中,。当||很小时,消元应当停止。当k=n-1时,消元过程完成。
注意:本章讨论线性方程组解的方法,不讨论解的存在性。
例1:解线性方程组
2x1 + x2 + x3 =7

4x1 + 5x2 - x3=11
x1 - x2 + x3 =0
解:方程组的矩阵形式为 AX=b,其中:
2 1 1 7
A= 4 5 -1 b= 11
1 -1 1 0
第一步:列出增广矩阵

2 1 1 7
[A┇b ]= 4 5 -1 11
1 -1 1 0
第二步:对增广矩阵进行行初等变换,将系数矩阵A化为上三角形矩阵
r2 +(-2)r1
2 1 1 7 2 1 1 7
rr3+(-)r1
[A┇b]= 4 5 -1 11 0 3 -3 -3
1 -1 1 0 0 - -
r3+()r2 2 1 1 7
0 3 -3 -3
0 0 -1 -5
得到同解线性方程组(上三角形方程组):
2x1 + x2 + x3 = 7
3x2 - 3x3 =-3
-x3 =-5
第三步:对上述上三角形方程组进行回代求解,得到:
x3 =5
x2 =4
x1 =-1
从而得到原方程组的解:X=(-1,4,5)T
把原方程组化成上三角形方程组的过程称为消元过程。将所得同解方程组按逆顺序代入求解上三角形方程组的过程称为回代过程。这种通过消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为高斯顺序消去法。高斯顺序消去法就是逐次消去未知数的系数,将方程组AX=b化为上三角形方程组的过程。
例2:已知线性方程组
解:
由此写出增广矩阵

2 6 -4 3
[A┇b ]= 1 4 -5 3
6 -1 18 2
再变形可将A部分变为上三角阵
:
:
(1)初始化:记初始给定的线性方程组AX=b为A(0)X =b(0)
(2)第1次消元:从方程组的第2至n个方程中消去未知数x1,得到的方程组记作A(1)X =b(1)
(3)第k次消元:
计算公式:令
对k=1到k=n-1,若
:
当
定理1:高斯顺序消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为零;AX=b能用高斯顺序消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。
例3:用高斯顺序消去法求解线性方程组
x1 + x2 + x3 = 6
x1 + 3x2–2x3 = 1
5x1 + x2 + 4x3 = 19
解:写出增广矩阵
1 1 1 6
[A┇b]= 1 3 -2 1 = [A(0)┇ b(0)]
5 1 4 19
第一次消元:a11=1,a21=1,a31=5,用l21=-1/1=-1, l31=-5/1=-5,乘第1行的各元素分别加到第2,3行上,得到:
1 1 1 6
0 2 -3 -5 = [A(1)┇ b(1)]
0 -4 -1 -11
第二次消元:l32=-(-4/2 )= 2乘第2行的各元素加到第3行上,得到:
1 1 1 6
0 2 -3 -5 = [A(2)┇ b(2)]
0 0 -7 -21
因为,回代得到:
x3 =
x2 = (-5 + 3×3)/2 = 2
x1 = (6 - 3×1 - 2×1) = 1
原方程组的解为:

x1 = 1
x2 = 2
x3