第一讲 整体与部分3.doc

第一讲整体与部分4
姚正安
§ 其他整体与部分问题
本节着重讨论整体区域与部分区域上函数的连续性与可积性等。显然整体区域上成立的性质则部分区域上成立,我们这里讨论相反的问题。
(1)若函数在上分别连续,则在上连续。
(2)若函数在上可积,则在上可积。
【分析】由在上连续,则在左连续,在上连续,则在点右连续。
【证明】(1)我们仅须证在点左连续且右连续,则在点连续()。
由在上连续,于是在点左连续,又在上连续,从而在点右连续。
(2)由在上可积,则在上有界,又在上可积,于是在上有界,即存在使得
,
从而取,则
下证在上可积,任给,由在上可积,在
上可积,则存在,,当分划,时,
,。
这里是分划得步长,是达布大和,是达布小和。现在取
。
设是上的分划:,且,
(i)设有分点,则
是上的分划,从而,且
。
是上的分划,从而,且
。
于是,由,,
得。
(ii)设对某个,则
(这里为在上的振幅,),取为,则由,有,从而。为在上的振幅,。
取为,则由,得
,于是。
为在上的振幅,则
。
另外,,
。
注意,振幅的非负性,于是
,
亦即在上可积。
从本问题可以看到连续性概念是所谓的局部整体概念,既要证明在上连续,则要证明其在每点连续,所以从部分的连续性到整体的连续性,必须有重叠,两个部分区间都必须含分界点。而对于可积性(严格讲这里是黎曼(Riemannn)可积)是一个整体概念,从而在某局部点的值(甚至是有限个点的值,无穷多个孤立点的值)都不影响可积性,所以我们不要求重叠,而直接可以部分上升到整体可积性。此外,关于可积性的证明一般比较复杂,我们必须把分划弄清楚,特别要掌握本问题分情形讨论的方法。这种方法在后面我们还会经常碰到。关于整体与部分的概念和方法也远不止本讲所讨论的内容。另外,在本书的其他部分还会涉及到这方面的内容。