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Ch 3 极限续论(实数基本定理)
计划课时:12 课时
P 95-119
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Ch 3 实数基本定理( 1 2 时)
§ 0 连续统假设简介( 2 时)
一、数的发展简史
: 十九世纪数学家 Leopold Kronecker 说: 上帝创造了整数, 其余
则是我们人类的事了.
2. 从自然数系到有理数系:
3. 算术连续统假设的建立及其破灭: 不可公度性的发现及其深远影响.
Pythagoras (约在纪元前六世纪), Hippasus, Leonardo da Vinci 称为“无
理的数”. Eudoxus , Euclid.
4. 微积分的建立: Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert ,
Laplace ; Voltaire , B. Berkeley .
十九世纪分析学理论的重建工作: , , Abel , Dirichlet,
Weierstrass . Archimedes 数域.
5. 实数系的建立:
十九世纪后半叶由 Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.
二、连续统假设:
1 连续统假设: 以 Cantor 实数为例做简介. Cauchy ( 1789—1857, 法), Bolzano
(1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点.
1900 年, 哥庭根大学教授 Hilbert( 1862—1943, 德)在巴黎国际数学家代表大会上
的致辞中, 提出了二十三个研究课题,其中的第一题就是所谓连续统假设. 首当其
冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 《数学简史》P160—
161 ).连续统假设的研究现况.
三、实数基本定理:
连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限
定理和实数完备性定理.
§ 1 实数基本定理的陈述( 4 时)
一、确界存在定理:回顾确界概念.
Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.
二、单调有界原理: 回顾单调和有界概念.
Th 2 单调有界数列必收敛.
三、 Cantor 闭区间套定理:
: 设{ [ , ba nn ] } 是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ> 对∀ n , 有[ , ba nn ++ 11 ] ⊂[ , ba nn ] , 即≤< ++ 11 ≤ bbaa nnnn , 亦即后
一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ> ab nn →−,0 n ∞→)( . 即当 n →∞
序列为一个递缩闭区间套, , 所谓区间套是指一个“闭、
缩、套”:
21 aaa n n ≤≤<≤≤≤≤
≤≤ bbb 12 , − ab nn →,0
n ∞→)( . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{ an } 和{ bn