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第二章 有限元的基础理论
§1基本概念
这一节介绍泛函分析的一些基本知识.
1)线性空间
定义1（线性空间） ：设 是一个非空的集合,对集合中的元素定义了两种运算
加法：,在 中都存在一个元素与它们对应，称为它们的和，记作 ；
数乘： 和任意的实数 ，在 中都存在一个元素与它们对应,称为这两者的数乘，记作 .
加法满足下列规则：
（a）交换律：
（b）结合律：
（c）在 中存在惟一的一个元素 ，使得 ，都有
。这个元素称为 中的零元素
（d）,在 中存在惟一一个元素，记作 ，使得
。这个元素称为 的负元素，并可以定义
减法
数乘满足下列规则：
（a）对加法的分配律：
(b)对数乘的分配律：
（c）结合律：
（d），都有
此时,称集合 是一个线性空间。
例：
维（实）向量空间
(注)实数集 作为一维向量空间，也是线性空间。
全体实函数的集合
全体连续函数的集合 ，或记作
全体有直到 阶连续(偏）导数函数的集合
全体有任意阶连续（偏)导数函数的集合
全体(实系数）多项式的集合
次数不超过 次的全体（实系数）多项式的集合
（注） 表示函数的定义域。
线性空间是向量空间的推广。因此，向量空间的许多概念都可以推广过来，例如：
元素的线性组合：设一组元素 ，一组实数
,则称
为这组元素的线性组合。
线性相关：设 ,若存在一组不全为零的实数 ，使得
线性无关：设 ，若只有当 全为零时才有
基：若在 中存在一组元素 ，使得 中任何一个元素都可以表示成它们的线性组合，则称这组元素是空间 的一组基。
空间的维数:设 是空间的一组基,若这组元素只有有限多个，即 ，则空间 称为有限维空间,这组元素的个数 称作空间的维数，记作 ；若这组元素有无穷多个，则空间 称为无限维空间,记作 。
（注)空间可以有多组基，但空间的维数与基的选择无关.
子空间（线性子空间）
由一组元素张成的子空间：设 ，则空间 的子集合
是这组元素的线性组合
构成空间 的子空间,称作由元素
张成的子空间。
例：
维（实)向量空间 是有限维空间，
次数不超过 次的全体(实系数）多项式的集合 是有限维空间，
函数集合 、（）都是无限维空间
多项式集合 是无限维空间
定义2(乘积空间） ：设 和 是两个线性空间,定义集合 ，并对其中的元素规定加法和数乘运算
加法:
数乘：
则 构成一个线性空间，称作 和 的乘积空间,记作
.
（注)可以定义多个空间的乘积空间.
一个空间自己与自己的乘积空间可用幂来表示，例如
所以,维（实)向量空间 又可以解释为实数空间的乘积空间。
2）距离空间
定义3（距离空间) :设 是一个非空的集合，对集合中的元素定义了距离：
，都存在一个实数与它们对应，称为它们的距离，记作 ，并满足：
（a）对称性：
（b）正定性： ，当且仅当 时
（c）三角不等式:
则称集合 是一个距离空间。
例：
实数集 ，定义距离
向量空间 ，定义距离
，
（注)在同一集合上定义不同的距离，则构成不同的距离空间。
连续函数集合 ，定义距离
引入距离，可为开展各种分析定义一个最基本的概念—-极限。
定义4（极限） :设 是距离空间 中的一个元素序列，若存在元素 ，使得 ,则称这个元素序列收敛,而元素 称为这个序列的极限。
性质1 :收敛序列的极限是惟一的.
定义5(Cauchy序列） ：设 是距离空间 中的一个元素序列，若 ，都存在自然数 ，使得 ，都有 ,则称这个元素序列是一个Cauchy序列。
性质2 :收敛序列一定是Cauchy序列。
对于实数集,性质2反过来也是成立的，即：Cauchy序列一定是收敛序列。
有理数集 ，仍定义距离 ，序列
都是Cauchy序列。作为实数序列，它们也都是收敛序列，极限分别是 和 。但是这两个极限值都不是有理数，所以作为有理数序列，它们都没有极限。
区间 上一元连续函数的集合 ，定义距离
考虑连续函数序列 ，其中
可以验证,这个函数序列是一个Cauchy序列.
再考虑不连续的函数
经过计算，知
所以
但是由于函数 ，所以上述函数序列没有极限。
定义6(完备性） :如果距离空间中的任何Cauchy序列都是熟练的，则