专题08 数列-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析.doc.doc

专题 8 数列 2014 高考对本内容的考查主要有: (1) 数列的概念是 A 级要求,了解数列、数列的项、通项公式、前 n 项和等概念,一般不会单独考查; (2) 等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列,要求都是 C 级,熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前 n 项求和公式、性质等知识,理解其推导过程,并且能够灵活应用. (4) 通过适当的代数变形后,转化为等差数列或等比数列的问题. (5) 求数列的通项公式及其前 n 项和的基本的几种方法. (6) 数列与函数、不等式的综合问题. 试题类型可能是填空题,以考查单一性知识为主,同时在解答题中经常与不等式综合考查,构成压轴题. 1 .等差、等比数列的通项公式等差数列{a n} 的通项公式为 a n=a 1+(n - 1)d =a m+(n -m)d ; 等比数列{a n} 的通项公式为 a n =a 1q n -1=a mq n - .等差、等比数列的前 n 项和(1) 等差数列的前 n 项和为 S n= na 1+a n2 = na 1+ nn-12 d. 特别地,当d≠0 时,S n 是关于 n 的二次函数, 且常数项为 0 , 即可设 S n= an 2+ bn(a ,b 为常数) . (2) 等比数列的前 n 项和 S n= na 1,q=1, a 11-q n1-q = a 1-a nq1-q ,q≠1 , 特别地,若 q≠1 ,设 a= a 11-q , 则S n=a - aq .等差数列、等比数列常用性质(1) 若序号 m +n =p +q ,在等差数列中,则有 a m+a n=a p+a q ;特别的,若序号 m +n = 2p ,则a m+a n=2a p; 在等比数列中, 则有 a m·a n=a p·a q; 特别的, 若序号 m +n =2p ,则a m·a n =a 2p; (2) 在等差数列{a n} 中, S k,S 2k-S k,S 3k-S 2k,…成等差数列,其公差为 kd ;其中 S n 为前 n 项的和,且S n≠ 0(n ∈N *) ; 在等比数列{a n} 中,当q≠-1 或k 不为偶数时 S k,S 2k-S k,S 3k-S 2k,…成等比数列,其中 S n 为前 n 项的和(n ∈N * ). 4 .数列求和的方法归纳(1) 转化法:将数列的项进行分组重组,使之转化为 n 个等差数列或等比数列,然后应用公式求和; (2) 错位相减法:适用于{a n·b n} 的前 n 项和,其中{a n} 是等差数列, {b n} 是等比数列; (3) 裂项法:求{a n} 的前 n 项和时,若能将 a n 拆分为 a n=b n-b n +1 ,则 a 1+a 2+…+a n=b 1 -b n +1; (4) 倒序相加法:一个数列倒过来与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项的和容易求出,; (5) 试值猜想法:通过对 S 1,S 2,S 3,…的计算进行归纳分析,寻求规律,猜想出 S n ,:对于 S n 不加证明; (6) 并项求和法:先将某些项放在一起先求和,然后再求 S n. 例如对于数列{a n} :a 1=1 ,a 2 =3 ,a 3=2 ,a n +2=a n +1-a n ,可证其满足 a n +6=a n ,在求和时,依次 6 项求和,再求 S n. 5 .数列的应用题(1) 应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知识涉及面广,因此要解好应用题,首先应当提高阅读理解能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问题转化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决. (2) 数列应用题一般是等比、等差数列问题,其中,等比数列涉及的范围比较广,如经济上涉及利润、成本、效益的增减,解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n} ,利用该数列的通项公式、递推公式或前 n 项和公式. 考点 1 、等差、等比数列中基本量的计算【例 1 】设数列{a n} 是公差不为 0 的等差数列,S n 为其前 n 项的和, 满足:a 22+a 23=a 24+a 25, S 7= 7. (1) 求数列{a n} 的通项公式及前 n 项的和 S n; (2) 设数列{b n} 满足 b n=2a n ,其前 n 项的和为 T n ,当 n 为何值时,有 T n> 512. 【解析】解(1) 由{a n} 是公差不为 0 的等差数列, 可设 a n=a 1+(n- 1)d ,则由 a 22+a 23=a 24+a 25, S 7=7, 得 a 1+d 2+a 1+2d 2=a 1+3d 2+a 1+4d