向量组的线性相关性.ppt

第三章向量组的线性相关性
本章将介绍n维向量的基本概念及其运算,讨论n 维向量的线性相关性,并利用矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性相关性。这些都是线性代数和近代数学中的最基本概念和基本性质,并为学习后面的内容提供了必要的预备知识。
§ n维向量及其运算
在空间(或平面)解析几何中,从有向线段出发,引进了向量的概念,并进一步引进了向量的加法和数
乘向量的运算;另外,在空间中引进笛卡尔坐标系后,空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以,由所有三维数组构成的集合

即代表了点空间,也代表了三维向量空间。因而,点空间的许多几何性质,例如点的共线、共面,直线和平面的平行、相交等等,都可以用向量空间的语言来刻划。
一、n 维向量空间的概念
几何空间中:
点P的坐标
n 维向量空间( Rn ):
n 维向量: (有序数组)
n 维行向量
的分量
n 维列向量:
实(复)向量:
分量为实(复)数
确定飞机的状态,需
要以下6个参数:
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的水平转角
机身的仰角
机翼的转角
所以,确定飞机的状态,需用6维向量
n维向量的实际意义
=  ai = bi
= (0, 0, …, 0)
负向量: - = (-a1, -a2, …, -an )
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn),
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k •=(ka1, ka2, …, kan ), k R.
向量相等:= (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
零向量:
Rn : n 维向量的全体.
线性方程组与n维向量的线性运算:
定义若
则称V是 Rn 的一个子空间.
例1 设V = {(x1, x2) | x1+x2 = 0 }, V是否是 R2 的子空间?
例2 设V = {(x1, x2) | x1+ x2 = 1 }, V是否是 R2 的子空间?
二、 Rn 的子空间