概率论与数理统计 (4).ppt

第一章第四节
条件概率
在解决许多概率问题时,往往需要求在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。
一、条件概率
1. 条件概率的概念
通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为P(A|B)。
一般情况下, P(A|B) ≠P(A) 。
第一章第四节条件概率
P(A )=1/6,
例如:掷一颗均匀骰子,A={掷出2点},
B={掷出偶数点},
P(A|B)=?
掷骰子
已知事件B发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是B。
于是,P(A|B)= 1/3。
B中共有3个元素,每个元素出现是等可能的,且其中只有1个(2点)在集合A中。
容易看到:
P(A|B)
P(A )=3/10,
又如:10件产品中有7件正品,3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品。现从这10件中任取一件,记
B={取到正品},
A={取到一等品},
P(A|B)
P(A )=3/10,
B={取到正品},
P(A|B)=3/7。
本例中,计算P(A)时,依据前提条件是10件产品中一等品的比例。
A={取到一等品},
计算P(A|B)时,这个前提条件未变,只是加上“事件B已发生”这个新的条件。
这好象给了我们一个“情报”,使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。
若事件B已发生, 则为使 A也发生, 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点, 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生, 故B就变成了新的样本空间, 于是就有(1)。
设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称
(1)
2. 条件概率的定义
为在事件B发生条件下,事件A的条件概率。
3. 条件概率的性质
设B是一事件,且P(B)>0,则
1. 对任一事件A,0≤P(A|B)≤1;
2. P(Ω|B)=1;
3. 设A1,…,An ,…互不相容,则
P[(A1+…+An +…)| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)+…
而且,前面对概率所证明的一切性质,也都适用于条件概率。
例如:对任意事件A1和A2 ,有

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)等。
其他性质请同学们自行写出。
2)从加入条件后改变了的情况去算
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P(B)>0。
掷骰子
例:A={掷出2点},
B={掷出偶数点},
P(A|B)=
B发生后的
缩减样本空间
所含样本点总数
在缩减样本空间
中A所含样本点
个数
例1 :掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解法1:
解法2:
解: 设A={掷出点数之和不小于10},
B={第一颗掷出6点}。
应用定义
在B发生后的
缩减样本空间
中计算