用不动点法求数列通项.docx

用不动点法求数列的通项
定义：方程f(x) =x的根称为函数f(x)的不动点.
利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系an = f (an」)所确定的数列化为等比
数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法 ^
定理1 ：若f(x) =ax+b(a #0,a 01), p是f(x)的不动点，an满足递推关系 an = f (anA),(n >1)，则 an - p =a(an,一 p),即｛an - p｝是公比为 a 的等比数列.
•an」b - p =a(an」-p)
{an}满足递推关系 an = f (an J. ), n 1 ,
证明：因为p是f(x)的不动点 .ap b = p
二 b — p = -ap 由 an =a an」+ b得an - p = a
所以｛an - p｝是公比为a的等比数列
ax b 定理 2：设 f(x)= (c/0,ad —bc=0),
cx d
初值条件a1=f (a1 )
(1)：若f (x)有两个相异的不动点 p,q ,则电二E = k，亘■苴二E (这里k =史上)
an -q an」-q a -qc
(2):若
1
f (x)只有唯一不动点 p ,则
(这里k
证明：由
ax b
f(x)=x得 f(x) = G
(1)因为
p,q是不动点，所以‘
2 cp
2 cq
an - p an」一 p
2
=x，所以 cx +(d—a)x — b = 0
(d -a) p -b = 0
—
(d - a)q - b = 0
pd -b
p =-
a - pc
qd -b
q =
a - qc
所以
an - p
aan 4 b
p
can 4 d
an -q aan 4 b
d q
can」
(a - pc)an, b — pd (a - qc)an, b - qd
a 一匹
a - qc
an」
pd - b
a一匹 qd 一 b a i qc
a - pc an 1 - p
a - qc an-1 - q
an -q
an/ -q
an/ - p
2 2
(2)因为 p是万程 cx +(d —a)x —b =0的唯一解，所以 cp +(d—a)p —b = 0
2 a - d
所以 b - pd =cp -ap , p = 所以
2c
aan i b
…二 cO"P
2
(a -cp)anb - pd (a -cp)anJ cp - ap (a - cp)(a
can1 d
can j d
n」- p)
所以
can J
1 c(anj - p) - d cp
an - p
a -cp
an 1 p
c d cp a-cp a-cp
an J - p
1 2c and - p a d
例2:
定理
竺，则
a d an - p an」
设｛an｝满足a1 =1,an书
数列｛an｝满足下列关系:
3 :设函数f (x)=
2 ax
an 2
,n
an
｛an｝的通项公式
2 a a1 - 2a, an 1 = 2a - 一 an
,a#0,求数列｛an｝的通项公式
bx c