第三章 多维随机变量及其分布.ppt

为什么需要讨论多维随机变量?
以上我们只限于讨论一个随机变量的情况,但在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对这一地区的儿童进行抽查,对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W。在这里,样本空间S={e}={某地区的全部学龄前儿童},而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。
多维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维随机变量的边缘分布
二维随机变量的条件分布
随机变量的独立性
两个随机变量的函数的分布
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本章小结
习题
设X1,X2, …Xn时定义在同一样本空间S上的随机变量,则向量(X1,X2, …Xn)称为n维随机变量或n维随机向量。
当n=2时,称为二维随机变量,记为(X,Y).
二维随机变量的分布函数
设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数:
F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)}=P(X≤x, Y≤y)
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X,Y的联合分布函数。
二维随机变量
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义
P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}
=F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)
联合分布函数的性质
(1)F(x,y)是x和y的不减函数。即对于任意固定的y,当x2>x1时F(x2,y) ≥F(x1,y);对于任意固定的x,当y2>y1时,F(x,y2) ≥F(x,y1)。
[思考]
问G(x,y)能否作为分布函数?
答不能。
虽然G(x,y)满足分布函数的前三个性质,但不满足第四个性质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时,
G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)
=1-1-1+0=-1<0
如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限多对,则称(X,Y)为离散型随机变量。
二维离散型随机变量的概念
称P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2, …
为(X,Y)的概率函数。列成表格
称联合分布列。
概率函数pij满足
Y
X
x1 x2 … xn …
x1
p11 p12 … p1n …
…
……………
xm
pm1 pm2 … pmn …
…
……………
二维离散型随机变量的概率函数
二维随机变量(X,Y)的分布函数定义为
二维离散型随机变量的分布函数