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第五章第五章
大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理
开课系:数学学院
主讲教师:刘亚平
Email:yapingliu66@
§ 切比雪夫不等式
:P(143)若随机变量X的期望E(X)和方差D(X)
存在,则对任意ε>0,有
D(X)
P{| X − E(X) |≥ε} ≤;
ε2
等价形式为
D(X)
P{| X − E(X) |< ε} ≥ 1 −.
ε2
例:一机床制造长度为50cm的工件,由于随机扰动,工件
长度总有一定误差。统计表明,。
~,请估计该机
床制造工件的合格率。
解:设X表示工件长度,则由题意有
EX=50,D(X)=*
由切比雪夫不等式,有合格率为
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PX{|−<≥−= EX ( ) | } 1 .
9
§ 大数定律
(144): 设 X1, X2, …, Xn是随机变
量序列,a是一个常数;若对任意ε>0, 有:
limPX (|n −< a |ε) = 1,
n→∞
P
则X1, X2, …, Xn依概率收敛于a,记为 Xan →.
(切比雪夫大数定律)设互相独立的随机变量
序列X1, X2, …, Xn,…数学期望与方差都存在,且存在
常数c,使每个D(Xi) ≤ c(i=1,2,…),则必有
11nn
limpX (|ii−<= EX ( ) |ε) 1
n→∞∑∑
nnii==11
推论:(独立同分布大数定律)
设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立,且服从相同
2
分布,记E(Xi)=μ,D (Xi)=σ(i=1,2,…), 记
n
1 则有 P
XX= ∑ k X →µ.
n k =1
即对任意的ε>0,有:
1 n
limPX {|−<µε| } = lim P {| Xk −< µε| } = 1
nn−>∞−>∞∑
n k =1
n
或 1
lim P{| X k −µ |≥ε} = 0
n−>∞∑
n k =1
证明: 1 n 1 n 1 n

E ( ∑ X k ) = ∑ EX k = ∑µ = µ
n k =1 n k =1 n k =1
1 n 1 n 1 1
D ( X ) = DX = nσ 2 = σ 2
∑ k 2 ∑ k 2
n k =1 n k =1 n n
1 n σ 2
由切比晓夫不等式得:P{| X −µ |< ε} ≥ 1−
n ∑ k 2
k=1 nε
1 n
当n →∞时,P{| X −µ |< ε} = 1。
n ∑ k
k=1
(贝努里大数定律)设是n次独立重复试验
中事件A发生的次数nA,记f n(A)= nA /n,p是事件A发生
的概率,则有 P
fn ()Ap→.
n
即对任意的ε>0 ,有 lim P{| A − p |≥ε} = 0
n−>∞ n
或 n
lim P{| A − p |< ε} = 1
n −> ∞ n
0,在第k次试验中A不发生
证:令 X k = ,k = 1,2,
,n
1,在第k次试验中A发生
n
则,且相互独立同服从于(0 −1)分布
nA = ∑ X k X1,
, X n
k =1
故 EX k = p, DX k = p (1 − p ), k = 1,2,
, n,
1 n
由推论有 lim P{| ∑ X i − p |< ε} = 1
n−>∞ n ,
n i=1
即 lim P{| A − p |< ε} = 1。此定理说明了频率的稳定性。
n−>∞ n
(辛钦大数定律)
设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立,且服从相同
n
分布,E(X )=μ(i=1,2,…)存在, 记 1
i XX= ∑ k
n k =1
则有 X P→µ.
即对任意的ε>0,有:
1 n
limPX {|−<µε| } = lim P {| Xk −< µε| } = 1
nn−>∞−>∞∑
n k =1
1 n
或 limPX {|k −≥µε| } = 0
n−>∞∑
n k =1
注:贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
§ 中心极限定理
定理5