第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法.pdf

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d2w dw
+ p(z) + q(z)w = 0, ()
dz2 dz
D E F G H I J K
p(z) C q(z)
• F G H L M N O PF G H I J Q R H K
• S T M UF G L H L V W M N O PF G I J H L V W Q R H K
c d e e m n op q e r s
X Y Z [ \ [ ] ^ _ ` a b [ f g hi j k l Y Z
K
U z0
e e
{ | }
` a tZ l [ v w x y k z Y Z [ l [ v w x y k
u U U
p(z), q(z) u z0 z0
e ~ 
z Y Z [ g
Y Z ‚ g Y Z
U€  U
Taylor Laurent K
ƒ „ …
L V U‡ D E F G H ˆ K
† †
• p(z), q(z) z0 † z0
L V U‡ D E F G H  K
ƒ „ ‰Š ‹ Œ  Ž …
† †
• p(z), q(z) z0 †  z0
‘
’ “ ” F G (Hypergeometric equation)
d2w dw
z(1 − z) + γ−(1 + α+ β)z −αβw = 0
dz2 dz
H I J M  
γ−(1 + α+ β)z αβ
p(z) = C q(z) = −.
z(1 − z) z(1 − z)
… Œ • – — U C Œ ˜ Ž  C Kš › Uœ  C M ’ “ ” F G
p(z) q(z) † ™ z = 0 z = 1 z = 0 z = 1
H  UŒ • – — H Ÿ   M F G H ˆ K
† ž † ¡ †
‘
Legendre F G
d2y dy
1 − x2 − 2x + l(l + 1)y = 0,
dx2 dx
… Œ • – — H  E K
† x = ±1


« ¬ « ­
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–
M M F G H  U‡ § ¨ © ª H K
†
†
z = ∞ () z = 1/t
dw dw d2w d2w dw
= −t2 , = t4 + 2t3 .
dz dt dz2 dt2 dt
«
® ¯
E
UF G ()
d2w 2 1 1 dw 1 1
+ − p + q w = 0. ()
dt2 t t2 t dt t4 t
    
¥ ¦
ƒ „ M F G H ˆ  U‡ D – M F G H ˆ  K
† † † †
t = 0 () † ( ) z = ∞() ( )
£ ¤ ¥ ¦ § ¨ ©
  § ° ± ² ° 
§ 2 
³ E F G ˆ H ´ µ M
t = 0 ( z = ∞) †
1
p = 2t + a t2 + a t3 + · · · ,
t 2 3
 
1
q = b t4 + b t5 + · · · ,
t 4 5
 
³
2 a a
p(z) = + 2 + 3 + · · · ,
z z2 z3
b b
q(z) = 4 + 5 + · · · .
z4 z5
¥ ¦
– M ’ “ ” F G C
F G H  K
†
Legendre †
¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ § ¨ ©
 
    
3 
§ < = 9 ¶ · ¸ ¹ > º
» ¼
U H R Å K
 ½ ¾ ¿À Á  à Ä
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C … È ÉÊ Ë L V U‡ … È Éˆ Ì Í F G Î Ë Ï Ð
ƒ „ p(z) q(z) |z − z0| <