2 无穷积分的性质.doc

无穷积分的性质:
  ⑴  在区间上可积, — Const , 则函数在区间上可积,
    且.                      
  ⑵  和在区间上可积,  在区间
     上可积, 且   .
  ⑶   无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)
  定理   积分 收敛.
  ⑷   绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
  绝对收敛 收敛, ( 证)     但反之不确.  绝对型积分与非绝对型积分
 
无穷积分收敛判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.
   ⑴   比较判敛法:    设在区间上函数和非负且
 ,又对任何>, 和在区间上可积.  则
        < ,  < ; ,   .  ( 证)
 例1   判断积分的敛散性.                    
 比较原则的极限形式: 设在区间上函数,. 则
ⅰ>   <  < ,       与   共敛散:                     
 ⅱ>   ,    < 时, < ;    
 ⅲ>   ,      时, .       ( 证)
  ⑵    Cauchy判敛法:  ( 以为比较对象, > 0 )
 对任何>, ,  且, < ;
 且,  .
 Cauchy判敛法的极限形式:  设是在任何有限区间上可积的正值函数.
且 . 则
ⅰ>   < ;
ⅱ>    .           ( 证)
例2   讨论以下无穷积分的敛散性:
 ⅰ>       ⅱ>       [1]P324 E6
 ⑶   其他判敛法:     
 Abel判敛法:  若在区间上可积, 单调有界, 则积分
 收敛.
 Dirichlet判敛法:  设在区间上有界,在
 上单调,且当时,. 则积分收敛.
 例6   讨论无穷积分与的敛散性.  [1]P325 E7
 例7   证明下列无穷积分收敛, 且为条件收敛:
            ,     ,      .        [1]P326 E8
 例8   ( 乘积不可积的例)  设, . 由例6的结果,
  积分收敛. 但积分却发散.( 参阅例6 )