矩阵的定义及其运算规则.doc

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矩阵的定义及其运算规则
1＞矩阵的定义
一般而言，所谓矩阵就是宙一组数的全体，在括号（）内排列成m行n列（横的称 行，纵的称列）的一个数表，并称它为mXn阵。
矩阵通常是用大写字母A、B…来表示。例如一个m行n列的矩阵可以简记为: 丿二（旬），或
(2-3)
我们称（2-3）式中的气为矩阵A的元素，且的第一个注脚字母许=12…，闵,表示 矩阵的行数，第二个注脚字母j （j = l, 2,…，n）表示矩阵的列数。
当m=n时，则称'=（旬）为n阶方阵，并用（衍山表示。当矩阵（吐）的元素仅有一 行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而 且它们的对应元素一一相等，即气讥,则称该两矩阵相等，记为A=Bo
2＞三角形矩阵
111 i = j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元 素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则 该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵:
<all a12
° ^22 ^23
I 0 0
鶴0
^21血 知丿，I爲1鸟2
r-5
0
十P
+ 3
+ 3 丿，* +1 丿。
3、单位矩阵与零矩阵
在方阵(知h中，如果只有”二丿的元素不等于零，而其他元素全为零，如:
则称为对角矩阵，可记为'"吨(如宀2，・・S)。如果在对角矩阵中所有的％彼此
都相等且均为1,
如:
,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即:
当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号"0"来表示。
矩阵的加法
矩阵A= (au) Bxn和8= (bij) BXn相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C =
(Cij) ©xn表示矩阵A及B的和，则有:
A+B=C=
Cm2
式中：中二％•十爲。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
山上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质(设A、B、C都是mXn矩阵)：
交换律：A+B=B+A
结合律：(A+B) +C=A+ (B+C)
5、 数与矩阵的乘法
我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵'=(邙)楓中的所有元素都
乘上k之后所得的矩阵。如：
山上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是mXn矩阵，k、h为任 意常数，则:
k (A+B) =kA+kB
(k+h) A=kA+hA
k (hA) =khA
6、 矩阵的乘法
/ £ C
若矩阵范2乘矩阵则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵总“的元 素'匕的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的 和。若：
(7
则矩阵^的元素山定义知其计算公式为：
(2-4)
C” = a* • + 為2 •如 + …+a汀• =迟
r-1
积。
【例2-1】
A =
a 12
B -
勺11垃2对J
1^21 aTL)
2x3
y
心1 % ^23 J
设有两矩阵为:
试求该两矩阵的
【