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第二章　函数、导数及其应用
第1讲 函数及其表示
一、必记3个知识点
1．函数映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
二、必明3个易误区
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．误把分段函数理解为几种函数组成．
三、必会4个方法
求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．
考点一
函数与映射的概念
，表示同一函数的是(　　)
A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lg
考点二
函数的定义域问题
角度一　求给定函数解析式的定义域
＝ln＋的定义域为________．
角度二　已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
2．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域
考点三
求函数的解析式
[典例]　(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[针对训练]已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
考点四
分段函数
[典例]　(1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
(2)已知函数f(x)＝则f＝________.
课后作业
[试一试]
1．函数y＝ ln(1－x)的定义域为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　 B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
2．若函数f(x)＝则f(f(10))＝(　　)
A．lg 101 B．2 C．1 D．0
[练一练]
1．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于(　　)
A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7
2．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________.　
做一做
1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)
A．y＝　　　　　B．y＝ C．y＝xex D．y＝
2．(2014·广州调研)已知函数f(x)＝则f的值是(　　)
A．9 B. C．－9 D．－
3．函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．
4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
5．有以