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文档介绍
《电磁场与电磁波》课后****题解答(第五章)
解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为
静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力
在移动过程中，外力f所作的功为
当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。
也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：
移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为
。
y
-q
q
d
·
·
5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。
a
解：需要加三个镜像电荷代替
x
导体面上的感应电荷。在（-a，d）
q
q
·
·
处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，
镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜
像电荷为-q。 图5-1
5．3 证明：一个点电荷q和一个带有电
荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为
其中D是q到球心的距离（D＞R）。
证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处，镜像电荷为q＇= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即
5．5 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。
q
z
·
解：计算导体上方的电位时，要保持
d
导体平板部分和半球部分的电位都为
a
q2
b
·
·
零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q，
-b
q3
·
位于（0，0，-d）处。再找球面镜像
q1
-d
·
电荷q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处，
b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电
荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图5-5
球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。
导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即
其中
求截面为矩形的无限长区域（0<x<a，0<y<b）的电位，其
四壁的电位为
解：由边界条件知，方程的基本解在y方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即
在x方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件，得出仅仅选取双曲正弦函数，即
将基本解进行线性组合，得
待定常数由x=a处的边界条件确定，即
使用正弦函数的正交归一性质，有
化简以后得
=
求出系数，代入电位表达式，得
5．7一个截面如图5-7所示的长槽，向y方向无限延伸，两则的电位是零，槽内y→∞，φ→0，底部的电位为
y
φ=0
φ=U0
x
求槽内的电位。
φ=0
解：由于在x=0和x=a两个边界的
电位为零，故在x方向选取周期解，
a
且仅仅取正弦函数，即
图5-7
在y方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y→∞时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为
由基本解的叠加构成电位的表示式为
待定系数由y=0的边界条件确定。在电位表示式中，令y=0，得
当n为奇数时，，当n为偶数时，。最后，电位的解为
若上题的底部的电位为
重新求槽内的电位。
解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为
静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力
在移动过程中，外力f所作的功为
当用外力将电荷Q移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为。
也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：
移动点电荷Q到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为
。
y
-q
q
d
·
·
5．2 一个点电荷放在直角导体内部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。
a
解：需要加三个镜像电荷代替
x
导体面上的感应电荷。在（-a，d）
q
q
·
·
处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，
镜像电荷为q，在（a，-d）处，镜
像电荷为-q。 图5-1
5．3 证明：一个点电荷q和一个带有电
荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为
其中D是q到球心的距离（D＞R）。
证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处，镜像电荷为q＇= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力，即
5．5 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷q（如图5-5），求导体上方的电位。
q
z
·
解：计算导体上方的电位时，要保持
d
导体平板部分和半球部分的电位都为
a
q2
b
·
·
零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q，
-b
q3
·
位于（0，0，-d）处。再找球面镜像
q1
-d
·
电荷q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处，
b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电
荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图5-5
球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。
导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即
其中
求截面为矩形的无限长区域（0<x<a，0<y<b）的电位，其
四壁的电位为
解：由边界条件知，方程的基本解在y方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即
在x方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件，得出仅仅选取双曲正弦函数，即
将基本解进行线性组合，得
待定常数由x=a处的边界条件确定，即
使用正弦函数的正交归一性质，有
化简以后得
=
求出系数，代入电位表达式，得
5．7一个截面如图5-7所示的长槽，向y方向无限延伸，两则的电位是零，槽内y→∞，φ→0，底部的电位为
y
φ=0
φ=U0
x
求槽内的电位。
φ=0
解：由于在x=0和x=a两个边界的
电位为零，故在x方向选取周期解，
a
且仅仅取正弦函数，即
图5-7
在y方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y→∞时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为
由基本解的叠加构成电位的表示式为
待定系数由y=0的边界条件确定。在电位表示式中，令y=0，得
当n为奇数时，，当n为偶数时，。最后，电位的解为
若上题的底部的电位为
重新求槽内的电位。
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章) 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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