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文档分类:高等教育

《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章).doc


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《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章).doc
文档介绍:
《电磁场与电磁波》课后****题解答(第五章)
****题及参考答案
5.1 一个点电荷 Q与无穷大导体平面相距为d,如果把它移动到无穷远处,需要作多少功?
解:用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替,镜像电荷的大小为-Q,位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时,电荷Q受到的静电力为

静电力为引力,要将其移动到无穷远处,必须加一个和静电力相反的外力

在移动过程中,外力f所作的功为

当用外力将电荷Q移动到无穷远处时,同时也要将镜像电荷移动到无穷远处,所以,在整个过程中,外力作的总功为。
也可以用静电能计算。在移动以前,系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能:

移动点电荷Q到无穷远处以后,系统的静电能为零。因此,在这个过程中,外力作功等于系统静电能的增量,即外力作功为


y

-q

q

d

·

·

5.2 一个点电荷放在直角导体内部(如图5-1),求出所有镜像电荷的位置和大小。
a

解:需要加三个镜像电荷代替
x

导体面上的感应电荷。在(-a,d)
q

q

·

·

处,镜像电荷为-q,在(错误!链接无效。)处,
镜像电荷为q,在(a,-d)处,镜
像电荷为-q。 图5-1
5.3 证明:一个点电荷q和一个带有电
荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为

其中D是q到球心的距离(D>R)。
证明:使用镜像法分析。由于导体球不接地,本身又带电Q,必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心b=R2/D处,镜像电荷为q'= -Rq/D;在球心处,镜像电荷为。点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力,即





5.5 接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起,在点(0,0,d)处有一个点电荷q(如图5-5),求导体上方的电位。
q

z
·

解:计算导体上方的电位时,要保持
d

导体平板部分和半球部分的电位都为
a

q2
b

·

·

零。先找平面导体的镜像电荷q1 = -q,
-b

q3
·

位于(0,0,-d)处。再找球面镜像
q1
-d

·

电荷q2 = -aq/d,位于(0,0,b)处,
b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电
荷共同产生的电位时,在导体平面上和 图5-5
球面上都不为零,应当在球内再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d,位于(0,0,-b)处。这时,三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。
导体上方的电位为四个点电荷的叠加,即

其中





求截面为矩形的无限长区域(0<x<a,0<y<b)的电位,其
四壁的电位为



解:由边界条件知,方程的基本解在y方向应该为周期函数,且仅仅取正弦函数,即

在x方向,考虑到是有限区域,选取双曲正弦和双曲余弦函数,使用边界条件,得出仅仅选取双曲正弦函数,即

将基本解进行线性组合,得

待定常数由x=a处的边界条件确定,即

使用正弦函数的正交归一性质,有






化简以后得
=
求出系数,代入电位表达式,得

5.7一个截面如图5-7所示的长槽,向y方向无限延伸,两则的电位是零,槽内y→∞,φ→0,底部的电位为
y
φ=0
φ=U0
x

求槽内的电位。
φ=0
解:由于在x=0和x=a两个边界的

电位为零,故在x方向选取周期解,
a
且仅仅取正弦函数,即
图5-7
在y方向,区域包含无穷远处,故选取指数函数,在y→∞时,电位趋于零,所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为

由基本解的叠加构成电位的表示式为

待定系数由y=0的边界条件确定。在电位表示式中,令y=0,得


当n为奇数时,,当n为偶数时,。最后,电位的解为

若上题的底部的电位为


重新求槽内的电位
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