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第13讲 二次函数的应用问题

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二次函数的应用问题
√
考点梳理·名师导学
考点：二次函数的应用问题

⑴二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值;
⑵二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.
：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出他们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展.
例1. (2008·浙江义乌·12分)，直角梯形OABC的顶点A、、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．
（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；
②当时，求S关于的函数解析式；
在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．

（1） （2）
【解析】：
（1）① ……………………………………………………………………………2分
，，S梯形OABC=12 ……………………………………………2分
②当时，
直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积
…………………………………………4分
（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分
…（每个点对各得1分）……5分
对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：
以点D为直角顶点，作轴

设.（图示阴影）
，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.
以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能.
综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
，直线的中垂线方程：，令得
．由已知可得即化简得解得 ；
第二类如上解法②中所示图
，直线的方程：，令得．由已知可得即化简得解之得 ，
第三类如上解法③中所示图
，直线的方程：，令得．由已知可得即解得（与重合舍去）．
综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：如果得出设，则P点的情形如下
直角分类情形
【点评】解决本题需要借助两个图像，第一问的分界点需要根据图2找到，第2问中的P点的坐标主要考察分情况讨论的思想，同时也需要校准确的定位草图.
2．（2009年·安徽·14分）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
金额w（元）
O
批发量m（kg）
300
200
100
20
40
60
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】
O
60
20
4
批发单价（元）
5
批发量（kg）
①
②
第23题图（1）
O
6
2
40
日最高销量（kg）
80
零售价（元）
第23题图