现代控制理论 刘豹 第二章.ppt

第2章线性控制系统的数学模型 目录控制系统的微分方程控制系统数学模型的基本概念控制系统的方框图与信号流图控制系统的传递函数前言对控制系统的研究,仅仅分析其工作原理及大致的运动过程是不够的,必须进行定量的分析。定量分析和设计控制系统首先要解决的问题是要合适的系统的数学模型,数学模型就是用数学的方法和形式描述系统中各变量变化及其相互关系。由于相似性原理,不同类型的系统(比如机械系统、电气系统、液压系统、气动系统、经济学系统和管理系统等) 可以拥有反映其运动规律的相同形式的数学模型,因此,通过数学模型研究控制系统,可以摆脱各种类型系统的外部特征而研究其内在的共性运动规律,这也是自动控制原理能够研究自动控制共同规律的前提。前言另外,数学模型作为一种数学结构,不但为解决实际问题提供了一种数学方法,同时也可译成算法语言(或仿真模型)而应用于 Matlab 等软件中实现控制系统的计算机辅助分析与设计。本章主要介绍线性定常连续系统的数学模型及其建立。 控制系统数学模型的基本概念控制系统数学模型的定义建立数学模型的方法数学模型的表示形式 控制系统数学模型的定义控制系统的数学模型是系统中各变量间关系的数学描述。若系统中各变量变化缓慢,其对时间的各阶导数可忽略不计, 在这种静态条件下,描述系统各变量关系的数学模型称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示;若各变量对时间的变化率不可忽略,在此条件下,表示变量及其各阶导数之间关系的数学模型称为动态数学模型。动态数学模型一般是微分方程等形式,控制系统的数学模型绝大部分是动态数学模型。 控制系统数学模型的定义通常,通过对数学模型的求解,得到系统输出量的表达式,并由此对系统性能进行分析。建立控制系统的数学模型时需注意:其一正确性,即用所建的数学模型进行理论分析,计算的结果应与系统实验与实际运行的结果,在一定的精度要求范围内相吻合;其二合理性,即对数学模型的精确度要求也非越高越好,这样得出的数学模型常常过于复杂,不但理论分析、计算非常困难,而且实践中无法实现与验证。因此,对控制系统建模往往是在把握本质、主要影响因素的同时,忽略一些非本质、次要的影响因素, 合理确定对系统模型准确度有决定影响的物理变量及其相互作用关系,而建立能正确反映系统特性的、最简形式的数学模型。 建立数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法通常有两大类:一类是机理建模方法,另一类是实验建模方法。机理建模法也称解析法,是通过对系统内在机理的分析,运用各种物理、化学等定律(如牛顿第二定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律、物质不灭定律等),推导出描述系统的数学表达式,通常称为机理模型。采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结构,所以常称为“白箱”建模方法。机理模型展示了系统的内在结构与联系,较好地描述了系统特性。但对所研究系统的内部结构和特性尚不清楚、甚至无法了解时,系统内部的机理变化规律就不能确定,此时机理建模方法无法使用。 建立数学模型的方法实验建模法是利用系统输入、输出的实验数据构造数学模型的方法。因为此法只依赖于系统的输入输出关系, 即使对系统内部机理不了解,也可以建立模型,所以常称为“黑箱”建模方法,也称系统辨识。系统辨识因其在实践中能得到很好的运用,故已发展成为一门较成熟且日臻完善的现代控制理论体系中的学科。事实上,人们在建模时,对系统不是一点都不了解,只是不能准确地描述系统的定量关系,但了解系统的一些特性,例如系统的类型、阶次等,因此,实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识,由机理分析提出模型结构,然后用观测数据估计出模型参数,这种方法常称为“灰箱”建模方法,也属于实验建模法范畴。综上,进行系统建模时,应根据实际控制系统的具体情况选择行之有效的建模方法。本章主要讨论解析法,着重介绍几种常用的数学模型。 数学模型的表示形式数学模型是对系统运动规律的定量描述,根据系统数学描述方法的不同,可以建立不同形式的数学表达式。时域中常用的数学模型(以时间为自变量)有微分方程、差分方程和状态空间表达式;复域中常用的数学模型(以复数或角频率为自变量)有传递函数、系统方框图、频率特性等。数学模型虽然有不同的表示形式,但它们之间是可以互相转换的。本章主要研究微分方程、传递函数和系统方框图等数学模型的建立和应用(频率特性将在第五章介绍,差分方程将在第七章介绍,状态空间表达式属现代控制理论研究范畴,本书未做介绍)。