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电动力学讲稿●第二章静电场 1 第二章静电场主要研究问题: 在给定自由电荷及周围空间介质和导体分布的情况下,求解静电场。§ 1 静电场的标势及其微分方程一、 静电场的标势为什么静电场可以用标势描述? Maxwell 方程?????????= ??= ????+ = × ????= × ? 0 B D t D J H t B E ???????ρ物质方程???= = H B E D ????με(欧姆定律 E J ??σ= ) 静电场有 0 = ???= × ? t B E ???∫= ? 0 l d E ??如右图所示,在静电场存在的空间,考察任意两点 1 P 和 2 P , 1 C 和 2 C 为 1 P 到 2 P 的两条路径,选择顺时针方向为回路积分方向,有 0 ) ( = ??+ ?= ?∫∫∫ C C l d E l d E l d E ??????所以∫∫?= ? C C l d E l d E ????由于 1 C 和 2 C 是任意的, ?积分(电场力作功)与路径无关,只取决于始末位置,表为?() () ∫??= ? 2 1 1 2 P P l d E P P ????或 l d E d ????= ?(可化为全微分) 又因为电动力学讲稿●第二章静电场 2 dz z dy y dx x d ??+ ??+ ??= ???? dz e dy e dx e l d z y x ????+ + = 可得 l d d ???= ??,所以???= E ??称为电势。讨论: 只有电势差才有物理意义,某点电势值与参照点的选择有关(两点的电势差与参照点的选择无关) ,常选无穷远处电势为 0 ,则 P 点的电势为() ∫∞?= P l d E P ???二、 静电势的直接计算对于点电荷: () r Q P 0 4 πε?= 对于多点电荷系统: () ∑= i i i r Q P 0 4 πε?(电场的叠加性原理) 对于连续分布的带电体: () ( ) ∫= r dV x P 0 4 ' ' περ??计算出电势后,由???= E ?可以很方便地得到电场强度。三、 静电势满足的微分方程及边值关系一般而言,对于包含自由电荷和导体的体系,自由电荷导致导体上出现感应电荷。感应电荷激发电场使(总)电场改变,总电场又引起感应电荷重新分布……达到一个平衡状态, 对这类问题上,难以根据上述公式(直接)计算电势。求解思路: 从某点电场出发, 根据电场的变化(Maxwell 方程给出电场强度散度和旋度) , 求(下一)近邻空间点的电势,重复上述过程,直到导体表面,此处物理量发生跃变,应用边界条件可以跨跃边界继续求解。对包含介质的体系亦是如此。上述过程在数学上表现为(在边界条件下)求解微分方程。?静电势满足的微分方程ρ= ?? D ? E D ??ε= ???= E ?电动力学讲稿●第二章静电场 3 ?ερ??= ? 2 Poisson 方程电势是标量,求解电势通常比直接求解 E ?在数学上更为简单。?电势满足边值关系电场强度的边值关系: () () ???= ??= ?× ) 2 ( ) 1 ( 0 1 2 1 2 σ D D n E E n ??????设 1 P 和 2 P 为分界面两侧相邻两点,注意到 l d E d ????= = ???? 1 2 由于电场有限, 1 P 与 2 P 的距离趋于 0 , ? 2 1 ??= ( 3 ) 这一关系与( 1 )等价。解释: (见 P. 5 3 ) 在介质分界面处选择四个点, 1 P 与 2 P 邻近, ' 1 P 与' 2 P 邻近,设从 1 P 到' 1 P 的距离为 l ?Δ(注意方向) , l ?Δ足够小。由上述电势连续条件, 2 2 1 1 ' ' ?????= ?根据 l d E d ????= ?,有 l E l E ????Δ??= ?= Δ??= ? 2 2 2 1 1 1 ' ' ????? l E l E ????Δ?= Δ? 2 1 由于 l ?Δ的取向具有任意性,可知在界面两边,电场强度的切向分量相等。#完毕由( 2 )式σεε= ??? 1 1 2 2 E n E n ????( n ?由介质 1 指向介质 2 ) σ?ε?ε= ??+ ??? 1 1 2 2 n n ??由于( P. 3 41 第 式) dl d l ??= ?) ( (方向微商) (也可表为 l d d ???= ??) ,可知 n n ??= ??????σ?ε?ε?= ????? n n 1 1 2 2 ( 4 ) 电动力学讲稿●第二章静电场 4 (3)和(4)式即是电势?的边值关系,适用于介质分界面。 对于导体,由电磁学知识() , ?内部不带电